Ziegenproblem

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Das Ziegenproblem, auch Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach dem Moderator der US-amerikanischen Spielshow „Let's make a deal“ ) genannt, ist eine Problemstellung aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Inhaltsverzeichnis

Problemstellung

Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde.

  • Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
  • Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
  • Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
  • Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann wählt der Moderator von den anderen beiden Toren eines zufällig aus und öffnet es.
  • Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
  • Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
  • Das vom Kandidaten letztendlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Wie soll er sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren?

Lösung

Der Kandidat sollte das Tor wechseln. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt dann 2/3.


Erklärung der Lösung

Einfache Erklärung

Mit der Wechselstrategie gewinnt der Kandidat in zwei Drittel der möglichen Fälle. Am Beispiel: Zeigt er am Anfang auf Tür 1, gewinnt er bei einem Wechsel sowohl, wenn das Auto hinter Tür 2 steht, als auch, wenn es hinter Tür 3 steht. Denn der Moderator muss dann entweder Tür 2 oder Tür 3 öffnen, und der Kandidat öffnet anschließend die andere dieser beiden Türen.

Detaillierte Begründung

Im folgenden wird der Fall angenommen, dass der Kandidat zunächst auf Tür 1 zeigt. Die Begründung für die anderen beiden Fälle verläuft völlig analog. Die in Klammern angegebenen Zahlen beziehen sich zur Begründung der jeweiligen Aussage auf die entsprechende Bedingung der oben aufgeführten Aufgabenstellung.

In 1/3 der Fälle steht das Auto hinter Tür 1. (1) In der Hälfte dieser Fälle, also in 1/6 der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tür 2 geöffnet, in einem weiteren Sechstel Tür 3. (4)

In 2/3 der Fälle steht das Auto hinter Tür 2 oder Tür 3, und zwar in der einen Hälfte dieser Fälle hinter Tür 2, in der anderen Hälfte hinter Tür 3. (1) In der einen Hälfte dieser Fälle, also in einem Drittel der Gesamtzahl der Fälle, wird vom Moderator Tür 2 geöffnet, in der anderen Hälfte Tür 3. (5)

Durch das Öffnen der Nietentür 2 oder 3 reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tür 2 oder 3 steht, um die Hälfte, also auf 1/3 der Gesamtzahl der Fälle.

Außerdem reduziert sich die Zahl der Fälle, bei denen das Auto hinter Tür 1 steht, ebenfalls um die Hälfte, also auf 1/6 der Gesamtzahl der Fälle.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für diejenige der Türen 2 oder 3, die der Moderator nicht geöffnet hat, beträgt also (1/3)/(1/6 + 1/3) = 2/3.

Das Ergebnis kann man auch so ausdrücken:

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Tür 1 ist eine Invariante des Spiels; ebenso die Gewinnwahrscheinlichkeit für „Tür 2 oder 3“.

Schema für die „Wechselstrategie“

Für die folgende Erklärung wird festgelegt, dass der Kandidat Tor 1 wählt. (Die gleiche Erklärung lässt sich auch für Tor 2 oder Tor 3 durchführen.) Das Auto kann hinter einer der drei Tore stehen. Wählt der Kandidat die Immer-Wechseln-Strategie, dann führt das in den drei Situationen zu folgendem Resultat.

Tor 1: Auto

Tor 2: Ziege

Tor 3: Ziege

Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird entweder die Ziege von Tor 2 oder Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel verliert er.
Tor 1: Ziege

Tor 2: Auto

Tor 3: Ziege

Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 3 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.
Tor 1: Ziege

Tor 2: Ziege

Tor 3: Auto

Der Kandidat wählt Tor 1 und ihm wird die Ziege hinter Tor 2 gezeigt. Durch einen Wechsel gewinnt er.

Fazit: Er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel.

Satz von Bayes

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung existiert mit dem Satz von Bayes eine Formel zum Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Um diese auf das Ziegenproblem anzuwenden, werden folgende Symbole für die Zufallsereignisse verwendet:

Mx: Der Moderator hat Tor x geöffnet.
Ax: Das Auto befindet sich hinter Tor x.

Aus der Aufgabenstellung lassen sich die folgenden A-priori-Wahrscheinlichkeiten ableiten.

  • Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt. (1. Regel)
    P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac 1 3
  • Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht. (5. Regel)
    P(M3 | A2) = P(M2 | A3) = 1

Die Wahrscheinlichkeit, nach dem Wechseln des Tores das Tor mit dem Auto gewählt zu haben, setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Zum Einen die Wahrscheinlichkeit P(M_3) \cdot 
P(A_2|M_3), dass der Moderator Tor 3 öffnet und das Auto hinter Tor 2 steht, und zum Anderen die Wahrscheinlichkeit P(M_2) \cdot P(A_3|M_2), dass der Moderator Tor 2 öffnet und das Auto hinter Tor 3 steht. Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A2 | M3) und P(A3 | M2) lassen sich jeweils mit dem Satz von Bayes berechnen.


P(M_3)|P(A_2 \cdot M_3) + P(M_2) \cdot P(A_3|M_2)
=P(M_3) \cdot \frac{P(M_3|A_2) \cdot P(A_2)}{P(M_3)} + P(M_2) \cdot \frac{P(M_2|A_3) \cdot P(A_3)}{P(M_2)}
=P(M_3|A_2) \cdot P(A_2) + P(M_2|A_3) \cdot P(A_3)
 =1 \cdot \frac 1 3 + 1 \cdot \frac 1 3 = \frac 2 3

Auch hier ergibt sich eine Gewinnwahrscheinlichkeit von \frac 2 3 beim Wechsel.

Eine Million Tore

Das Ziegenproblem lässt sich auch erklären, indem man die Situation überspitzt. Es gibt dann eine Million Tore und hinter genau einem befindet sich das Auto. Nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat, öffnet der Moderator alle anderen Tore bis auf eines. Hier ist es sofort einsichtig, dass der Kandidat wechseln sollte: Die Wahrscheinlichkeit, mit dem zuerst gewählten Tor richtig zu liegen, ist sehr gering. Wenn man die Zahl der Tore verringert, ändert sich nichts daran, dass der Kandidat das Tor wechseln sollte, nachdem der Moderator alle bis auf eine Niete entfernt hat. Insbesondere gilt dies auch für den Fall mit drei Toren.

Sprachlich einfache Erklärungen

Der Moderator kann nur ein Tor öffnen, hinter dem sich der Gewinn nicht befindet. Er muss in der hier besprochenen Aufgabenstellung immer ein Tor wählen. Ein Kandidat, der sich immer gegen den Wechsel entscheidet, gewinnt nur, wenn er auf Anhieb das richtige Tor trifft. Dies geschieht in einem Drittel der Fälle. Ein Kandidat, der immer wechselt, verliert in allen Fällen, in denen er ohne Wechsel gewonnen hätte, also einem Drittel der Fälle, und gewinnt folglich in zwei Dritteln der Fälle.

Alternativen und Erweiterungen

Alternativ kann man sich auch folgende Interpretation des Spieles durch den Kandidaten vorstellen: Der Kandidat wählt zwei Türen aus und bittet den Moderator, eine Niete sicher auszuschließen, so dass von zwei Türen nur noch dann eine Niete übrig bleibt, wenn der Gewinn schon vorher hinter der nicht ausgewählten Tür versteckt war. Ganz offensichtlich ist die Gewinn-Chance hier zwei Drittel. Der Kandidat kann den Moderator dadurch zur Mitarbeit benutzen, indem er vorgibt, sich für die eigentlich ausgeschlossene Tür zu entscheiden, woraufhin der Moderator die gewünschte Auswahl in den zwei eigentlich gewählten Türen vornimmt. Zur übriggebliebenen Tür wird der Kandidat dann offen wechseln, sie gehörte ja ohnehin zu seinen beiden Auswahlkandidaten.

Recht einsichtig wird das Ganze auch, wenn man die Situation etwas erweitert. Zur Vereinfachung der Beschreibung sei dabei angenommen, der Kandidat habe sich für Tor 1 entschieden und der Moderator habe Tor 2 geöffnet, d. h. der Kandidat kann sich zwischen Tor 1 und Tor 3 entscheiden. Ohne dass sich irgendetwas an der Wahrscheinlichkeit ändert, den Gewinn zu bekommen, kann man nun auch annehmen, dass der Moderator dem Kandidaten zusätzlich zu dem Gegenstand hinter Tor 3 auch noch die Ziege hinter Tor 2 schenkt. Ebenfalls ändert sich nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn der Moderator Tor 2 nun wieder schließt. Und es ändert sich auch nichts an der Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn der Moderator die Nummern von den Toren 2 und 3 abnimmt, so dass der Kandidat nicht mehr weiß, welches Tor ursprünglich Nummer 2 und welches 3 war (er bekommt ja sowieso beide). Damit wäre das Problem reduziert auf die Aufgabe, entweder Tor 1 zu wählen oder aber die beiden anderen, wobei klar ist, dass hinter einem der anderen beiden Tore eine Ziege steht. Betrachtet man nun diese Aufgabenstellung losgelöst vom ursprünglichen Problem, wird intuitiv jeder zur Wahl der beiden anderen Tore tendieren, denn bei der Wahl von 2 Toren ist logischerweise die Gewinnwahrscheinlichkeit höher als bei der Wahl von nur einem Tor.

Siehe auch

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