Verhandlungsspiele

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Verhandlungsspiele sind Spielmodelle, die den Verhandlungsprozess darstellen und untersuchen bzw. auf das Verhandlungsverhalten selbst eingehen. Man unterscheidet axiomatische, behavioristische und strategische Verhandlungsspiele.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Ein Verhandlungsspiel B ist gegeben durch

  • N : Die Menge der Spieler
  • Das Paar (P,c), wobei
    • P: Menge aller möglichen Auszahlungsvektoren u=(u1,..., un) des Spiels (Auszahlungsraum)
    • c: c=(c1,..., cn) ist derjenige Auszahlungsvektor, der realisiert wird, wenn sich die Spieler nicht einigen können (Konfliktpunkt)

Man unterscheidet

  • einfache Verhandlungsspiele: c ist gegeben
  • allgemeine Verhandlungsspiele: c ist nicht gegeben und die Entscheidung über den Konfliktpunkt ist Gegenstand des Spiels

Ein Verhandlungsproblem liegt vor, wenn der Auszahlungsraum P mindestens ein Element u enthält, das allen Spielern eine größere Auszahlung als c sichert. Die Spieler können sich also durch Einigung auf u besser stellen, als im Konfliktfall.

Das Lösungsproblem besteht darin, dass nun mehr als ein Vektor u im Auszahlungsraum existiert, der je alle Spieler besser stellt, als im Konfliktfall.

Die Lösung f eines Verhandlungsspiels ist eine Regel bzw. Funktion, die jedem denkbaren Verhandlungsspiel (P,c) einen eindeutig bestimmten Auszahlungsvektor zuordnet. Der Vektor f(P,c)=(u1,..., un) heißt dann Verhandlungsergebnis.

Eine wichtige Implikation des Konzepts eines Verhandlungsspiels ist, dass der Auszahlungsraum P konvex ist.

P ist eine konvexe Menge, wenn jeder Punkt auf der Verbindungslinie zweier Elemente von P in P liegt. Die Berücksichtigung aller denkbaren gemischten Strategien beinhaltet ferner, dass P auch stetig ist. Diese Eigenschaften sind von Bedeutung, wenn eine Funktion bezüglich P maximiert werden soll.

H(P) ist die Nutzengrenze von P, d.h. die Menge aller pareto-optimalen Auszahlungen in P.

Axiomatische Verhandlungsspiele

Die Lösung f eines axiomatischen Verhandlungsspiels ist dadurch gekennzeichnet, dass sie jedem Verhandlungsspiel (P,c) einen Auszahlungsvektor u zuordnet und bestimmte, vorgegebene "wünschenswerte" Eigenschaften erfüllt, die als Axiome formuliert sind.

Nash-Lösung

Im Jahr 1950 publizierte Nash einen Aufsatz, in dem er die nachfolgende Spezifikation der (Lösungs-) Funktion f vorschlug. Sie wurde als Nash-Lösung bekannt. Nach Nashs Vorstellung beinhaltet sie eine faire Verhandlungslösung, die rationale Spieler akzeptieren werden. <p> Das Ergebnis u* eines Verhandlungsspiels (P,c) sei im Zwei-Personen-Fall durch jenen Auszahlungsvektor u aus der Menge P bestimmt, für den ui > ci für alle i gilt und der das (Nash-)Produkt NP = (u1-c1)(u2-c2) maximiert.

Die durch diese Regel definierte Funktion f - im Folgenden wird sie mit F bezeichnet - ordnet jedem Verhandlungsspiel (P,c) genau einen Vektor u, das Nash-Ergebnis u*, zu und erfüllt die folgenden vier Axiome:

  • Unabhängigkeit von äquivalenter Nutzentransformation: Für jedes Verhandlungsspiel (P,c) und für beliebige reelle Zahlen ai > 0 und bi, wobei i = 1,2, ist fi(P',c') = aifi(P,c) + bi, falls (P',c') ein Verhandlungsspiel ist, das sich aus einer linearen ordnungserhaltenden Transformation aller Elemente u und c in P ergibt, so dass yi = aixi + bi und c'i = aici + bi gilt und y und c' Elemente von P' sind.
  • Symmetrie: Ist (P,c) ein symmetrisches Verhandlungsspiel, dann soll f1(P,c) = f2(P,c) gelten. (P,c) ist ein symmetrisches Verhandlungsspiel, wenn
    • c1 = c2 und
    • (u1, u2) in P impliziert (u2, u1) in P.
  • Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen: f(P,c) = f(Q,c), falls (P,c) und (Q,c) Verhandlungsspiele (mit identischem Konfliktpunkt c) sind, P eine Teilmenge von Q und f(Q,c) ein Element in P ist.
  • Pareto-Optimalität: Ist (P,c) ein Verhandlungsspiel, so gibt es kein x != f(P,c) in P, so dass x1 >= f1(P,c) und x2 >= f2(P,c).

Kritik an diesem Lösungskonzept

  • Unvergleichbarkeit von Nutzen bzw. Nutzenzuwächsen: Betrachtet man das erste Axiom isoliert von den anderen, so impliziert es, dass die Auszahlungswerte zweier Spieler nicht vergleichbar sind, da jede Nutzenfunktion beliebigen linear-orientierungserhaltenden Transformationen unterworfen werden kann
  • Die Nash-Lösung ist nicht monoton im Sinne des folgenden Axioms ("issue monotonicity"): Eine Lösung f ist monoton, wenn für jeden Spieler i fi(R,c) >= fi(P,c) gilt, falls P eine Teilmenge von R ist.
  • Keine Berücksichtigung von Unterschieden im Verhandlungsgeschick der Spieler

Kalai-Smorodinsky-Lösung

Die Kalai-Smorodinsky-Lösung (im folgenden nur KS-Lösung) wurde von Kalai und Smorodinsky 1975 hervorgebracht mit dem Ziel, dem "issue monotonicity", also der Monotonieeigenschaft gerecht zu werden. Doch dieses Lösungskonzept wird nicht seinem Anspruch gerecht und ist, wie auch die Nash-Lösung nicht monoton, deshalb führten Kalai und Smorodinsky ein weiters "Monotonie-Axiom" (s.u.) ein. Doch dieses schmälert nicht die Bedeutung dieser Lösung, da sie unter anderem verdeutlicht, wie aus Substitution eines Axioms der Nash-Lösung ein alternatives Lösungskonzept gewonnen werden kann:
Die Axiomatik der KS-Lösung unterscheidet sich von der Axiomatik der Nach-Lösung durch die Substitution des Axioms "Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen" durch das Axiom "Individuelle Monotonie". Zu den bekannten Axiomen "Unabhängigkeit von äquivalenter Nutzentransformation", "Symmetrie" und "Pareto-Optimalität" des Nash-Lösungskonzepts kommt nun das Axiom "Individuelle Monotonie", bzw. dessen Abschwächung "Beschränkte Monotonie" hinzu:

  • Individuelle Monotonie: Gilt für zwei Verhandlungsspiele (P,c) und (R,c) die Gleichung mi(P) = mi(R) für Spieler i, dann folgt für die Lösung fj(R,c) >= fj(P,c) für den Spieler j ungleich i, falls P eine echte Teilmenge von R ist.
  • Beschränkte Monotonie: Sind (R,c) und (P,c) Spiele, so dass P eine echte Teilmenge von R und m(P) = m(R) ist, dann gilt fi(R,c) >= fi(P,c) für alle Spieler i.

<p> Wobei

  • mi(P) und mi(R) maximale Auszahlungen des Spielers i ,entsprechend den Auszahlungsräumen P und R, sind, d.h. mi(P) = max(ui|(u1,u2) Element von P) für ein Zwei-Personenspiel (P,c) ist
  • m(P)=(m1(P),m2(P)) der Idealpunkt des Spiels (P,c) ist, der in der Regel nicht im Auszahlungsraum und damit nicht machbar ist.

Die KS-Lösung ist durch die Funktion f(P,c) = KS(P,c) = u* beschrieben. Für alle (u1,u2) und (v1,v2) (Elemente von P) gilt:
(u1,u2) ist KS-Lösung u* genau dann, wenn

  • (u2 - c2)/(u1 - c1) = (m2 - c2)/(m1 - c1)
  • ui >= vi und (v2 - c2)/(v1 - c1) = (m2 - c2)/(m1 - c1)
Diese Bedingungen sind gleichbedeutend mit der Forderung, dass u* jenes Element in P ist, das die Nutzengrenze H(P) und die Gerade L(c,m), die durch den Konfliktpunkt und den Idealpunkt geht, gemeinsam haben: Das Verhandlungsergebnis ist also durch den Schnittpunkt von L(c,m) und H(P) bestimmt. Die KS-Lösung ist damit eindeutig festgelegt.

</p>


Behavioristische Verhandlungsmodelle

Bei behavioristischen Verhandlungsmodellen steht das Verhalten der Spieler im Mittelpunkt und nicht der institutionelle Rahmen.

Definitionen

  • Ein Verhandlungsvorschlag x=(x1, x2) von Spieler 1 und y=(y1, y2) von Spieler 2 ist
    • machbar, wenn für ein gegebenes Verhandlungsspiel (P,c) x und y Elemente von P sind
    • effizient, wenn er Element der Nutzengrenze H(P) ist

Im Folgenden betrachten wir ausschließlich efiziente Verhandlungsvorschläge:

  • Vorschläge x und y sind individuell rational, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind (c1 und c2 sind die vorgegebene Konfliktauszahlungen):
    • x1 >= y1 >= c1 für den Vorschlag von Spieler 1
    • x2 >= y2 >= c2 für den Vorschlag von Spieler 2

  • Vorschläge x' und y' sind Konzessionen, wenn (ausgehend von x und y in der Vorperiode) gilt: x'2 > x2 und y'1 > y1. Man unterscheidet
    • Spieler i macht eine volle Konzession, wenn er den Vorschlag des Mitspielers aus der Vorperiode aufgreift und seinerseits vorschlägt
    • Eine Konzession ist partiell, wenn x'2 > x2 und y'1 > y1, aber sie keine volle Konzession ist
    • Eine marginale Konzession (Sonderfall der partiellen Konzession) erfüllt x'2 > x2 und y'1 > y1, sowie x'2 - x2 = min(x'2 - x2), y'1 - y1 = min(y'1 - y1)

  • Die Konzessionsgrenzen für x' und y' sind für einfache Verhandlungsspiele durch dir Konfliktauszahlungen gegeben, d.h. x'1 >= c1 und y'2 >= c2

  • Vorschläge x und y sind kompatibel (also annehmbar), wenn folgende beiden Bedingungen erfüllt sind:
    • x2 >= y2 und x1 >= y1
    • (x2, y1) ist ein Element von P

  • Das Verhandlungsergebnis für kompatible Vorschläge x und y ist durch den Vektor (x1, y2) beschrieben, d.h. jeder Spieler erhält jene Auszahlung, die sein eigener Vorschlag für ihn vorsieht.

  • Ein Abbruch von Verhandlungen erfolgt dann, wenn die gemachten Vorschläge x und y nicht kompatibel sind und keiner der beiden Spieler eine Konzession macht - wenn also die Spieler ihre Vorschläge wiederholen, so dass x'=x und y'=y gilt. Dann resultieren die Konfliktauszahlungen c1 und c2.

Beispiel: Zeuthen-Harsanyi-Spiel

Strategische Verhandlungsspiele

Der Versuch einer Rationalisierung von Risikogrenzen und damit des Zeuthen-Prinzips stellt einen Ansatz dar, das kooperative, axiomatisch begründete Konzept der Nash-Lösung auf individuell rationales Verhalten in einem nicht-kooperativen Kontext zurückzuführen. Letztlich soll das durch die Nash-Lösung bestimmte Ergebnis des Verhandlungsspiels B als Nash-Gleichgewicht eines Spiels B' resultieren, das keine (exogen) verbindlichen Abmachungen vorsieht und somit nicht-kooperativ ist.

Verhandlungsspiele ohne verbindliche Abmachungen (strategische Verhandlungsspiele) werden im wesentlichen formuliert zur Modellierung und Analyse von

  • Verhandlungsprozessen, in denen die Spieler keine verbindlichen Abmachungen treffen können - Verhandlungen zwischen Regierungen bzw. Staaten auf internationaler Ebene oder zwischen Gewerkschaften und Arbeitgeberverbänden auf nationaler Ebene kommen derartigen Situationen sehr nahe - , oder
  • Institutionen (Regelsystemen, Gesetzen), die unter nicht-kooperativen Verhandlungsbedingungen zu Ergebnissen führen, die sich aus der axiomatischen Theorie ableiten bzw. mit ihnen vergleichbar sind.

In beiden Anwendungen wird ein nicht-kooperatives Lösungskonzept (im allgemeinen das Nash-Gleichgewicht oder eine Verfeinerung davon) zur Bestimmung des (Verhandlungs-) Ergebnisses angewandt. Im folgenden werden zwei Spiele dargestellt, die die oben genannten Aspekte strategischer Verhandlungsspiele gut veranschaulichen: die Kuchenteilungsregel und das Rubinstein-Verhandlungsspiel.

Die Kuchenteilungsregel

Die in diesem Abschnitt analysierte Kuchenteilungsregel kann als komprimiertes Harsanyi-Zeuthen-Spiel interpretiert werden. Es geht um die gerechte Teilung eines beliebig teilbaren Kuchens zwischen zwei Spielern. Nehmen wir an, dass der Nutzen jedes Spielers mit der Menge des Kuchens linear anwächst, so konstituiert ein Spiel um die Aufteilung ein Nullsummenspiel. Postuliert man aber ferner, dass bei Nicht-Einigung keiner etwas bekommt, so liegt ein kooperatives Verhandlungsspiel (P,c) mit linearer Nutzengrenze H(P) vor, falls die Spieler verbindliche Abmachungen über die Aufteilung treffen können. In der Standardformulierung des Kuchenteilungsspiels wird aber auf die Möglichkeit der verbindlichen Abmachung verzichtet. Statt dessen wird die sogenannte Kuchenteilungsregel als (verbindliche) Bedingung eingeführt: ein Spieler teilt den Kuchen und der andere hat die Wahl zwischen den beiden Teilen. Aufgrund der postulierten Interessen der Spieler wird der Spieler, der die Teilung vornimmt, den Kuchen in zwei gleiche Teile zerlegen.

Als Ergebnis des Verteilungsspiels bekommt jeder Spieler die Hälfte des Kuchens.

Offensichtlich ist dieses Ergebnis ein Nash-Gleichgewicht.

Das Rubinstein-Spiel

Einführung

Der Vorschlag des Spielers 1 (50:50) entspricht im obigen Verteilungsspiel dem einzigen teilspielperfekten Gleichgewicht dieses Spiels. Weniger trivial ist die Anwendung von Teilspielperfektheit im sogenannten Rubinstein-Spiel.

Zwei Spieler können einen Kuchen der Größe 1 zwischen sich aufteilen, falls sie sich über die Anteile einig werden, die jedem zustehen. Der Verhandlungsprozess kann potentiell unendliche lange dauern. Die Spieler können jeweils abwechselnd einen Vorschlag machen, den der Gegenspieler entweder sofort akzeptiert oder auf den er in der Folgeperiode mit einem Gegenvorschlag reagiert.

In der Periode t=0 schlägt Spieler 1 eine Teilung (x, 1-x) vor. Spieler 2 reagiert unmittelbar darauf: Er akzeptiert (spielt Strategie "ja") oder lehnt ab (spielt Strategie "nein"). Im ersten Fall endet das Spiel (mit der Auszahlung (x,1-x)), im zweiten Fall schlägt Spieler 2 in der nächsten Periode (t=1) (1-y,y) - zusammengefasst als y - vor. Spieler 1 erhält also 1-y, falls er diesem Vorschlag zustimmt, und Spieler 2 bekommt y. Dann würde das Spiel mit der Endverteilung z = (z1,z2) = (1-y,y) beendet. Lehnt aber Spieler 1 den Vorschlag des Spielers 2 ab, so macht er in Periode t=2 einen Vorschlag (x,1-x) ...

Solange keine Einigung erzielt wird, schlägt Spieler 1 in den geradzahligen Perioden (t=0,2,4,...) eine Aufteilung des Kuchens x vor, die 1-x für den Spieler 2 impliziert, und in den ungeradzahligen Perioden (t=1,3,5,...) macht, dazu korrespondierend, Spieler 2 einen Vorschlag y, der ein Angebot 1-y an Spieler 1 beinhaltet. Eine Strategie des Spielers 1 für das Verhandlungsspiel ist somit ein Verhaltensplan, der für jede geradzahlige Periode t einen Vorschlag (Zug) x spezifiziert und für eine ungeradzahlige Periode die Entscheidung, den Vorschlag des Spielers 2 anzunehmen oder abzulehnen, vorsieht. Entsprechend für Spieler 2.

Die Vorschläge der Spieler sind (nur) dergestalt verbindlich, dass der vorschlagende Spieler seinen Vorschlag realisiert, sofern der Mitspieler diesen akzeptiert.

Grundsätzlich ist der hier formulierte Verhandlungsprozess nicht zeitlich begrenzt, aber der Kuchen, den es zu verteilen gilt, schrumpft im Zeitablauf. Dies kommt durch die folgenden beiden Nutzenfunktionen zum Ausdruck (i=1,2):

  • ui = zi - cit
  • vi = ditzi (di im abgeschlossenen Einheitsintervall)
Für jeden der beiden Spieler i soll gelten, dass sein Nutzen um so größer ist, je größer sein Anteil zi ist, und um so kleiner ist, je länger der Verhandlungsprozess dauert, d.h. je größer t ist.

Die u-Nutzenfunktion scheint zur Modellierung direkter Verhandlungskosten geeignet, die sich durch den Parameter ci approximieren lassen (z.B. Lohn- und Gewinnausfall durch Arbeitskampf). Möglicherweise würde man diese Kosten aber auch in Abhängigkeit von der Zeit sehen, und nicht wie hier als für jede Periode gleich groß ansetzen. Die v-Nutzenfunktion drückt die in der Wirtschaft übliche Annahme der Zeitpräferenz aus: "Zuteilungen" (z.B. Einkommen), die heute anfallen, haben für die Individuen einen höheren Wert als Auszahlungen in selber Höhe, die erst morgen eintreten. In diesem Sinne sind d1 und d2 Diskontfaktoren.

Gleichgewichtslösungen

Betrachten wir folgende Strategiekonstellation (y* = 1 - x*):

  • Spieler 1 macht immer, wenn er an der Reihe ist, den Vorschlag x*, und Spieler 2 lehnt jeden Vorschlag x ab, für den x > x* gilt (andernfalls akzeptiert er) [Bedingung 1]
  • Spieler 2 bietet immer y*, wenn er an der Reihe ist, und Spieler 1 lehnt alle Vorschläge y ab, für die y > y* gilt, während er alle anderen y akzeptiert. [Bedingung 2]

Falls z.B. Spieler 2 den Vorschlag x nicht akzeptiert, weil x die in Bedingung 1 nicht erfüllt, geht er davon aus, dass er in der nächsten Periode gemäß Bedingung 2 den für ihn vorteilhafteren Vorschlag y* durchsetzen kann. Spieler 1 kann nichts besseres tun, als den (nicht näher bestimmten) Vorschlag x* zu wählen, wenn er annehmen muss, das Spieler 2 sich entsprechend Bedingung 1 verhält. </p>

Beginnt der Verhandlungsprozess mit einer geradzahligen Periode, so ist er mit der Verteilung z = (x*, 1-x*) unmittelbar abgeschlossen, und die beschriebenen Strategien repräsentieren ein Nash-Gleichgewicht.

Alle durch x* bzw. y* ausgedrückten Strategiepaare stellen Nash-Gleichgewichte dar. Sind die in obigen Bedingungen implizierten Drohungen, ein Angebot nicht zu akzeptieren, wenn es nicht groß genug ist, immer glaubwürdig? Die meisten dieser Gleichgewichte, die beide Bedingungen erfüllen sind nicht teilspielperfekt! Es besteht in der Regel ein Anreiz für Spieler 1 bzw. 2, von der für ihn in Bedingung 1 und 2 unterstellten Strategie abzuweichen, wenn er tatsächlich gefordert wäre, die darin ausgedrückte Drohung einzulösen.

Zur Wiederholung: Ein Strategiepaar (s1t, s2t) heisst teilspielperfektes (Nash-) Gleichgewicht, wenn es für jedes Teilspiel, das in der Periode t (t>=0) ansetzt, ein Nash-Gleichgewicht beinhaltet. Das Strategiepaar ist dann ein Nash-Gleichgewicht für das in t beginnende Teilspiel.

Wenden wir dieses Konzept auf x* = 0.5 an und gehen wir davon aus, dass die Nutzenfunktion der Spieler als u-Funktionen spezifiziert sind. Würde Spieler 1 einen Wert x > x*, z.B. 0.6 vorschlagen, so müsste Spieler 2 entsprechend Bedingung 1 diesen Vorschlag ablehnen - in der Hoffnung, in der nächsten Periode selbst y* = 0.5 durchsetzen zu können.

Unterstellen wir für den Spieler 2 die "Kostenkonstante" c2 = 0.2, so ist die Auszahlung, die Spieler 2 ablehnt, u2 = (1-0.6)-0.2t = 0.4 - 0.2t. Der Nutzen, den er erwartet, realisieren zu können, ist u2 = (1-0.5)-0.2(t+1) = 0.3 - 0.2t. Aus der Ablehnung von x folgt also eine geringere Auszahlung als aus deren Annahme; die Drohung in Bedingung 1 ist zumindest für die hier gewählten Zahlenwerte und für die u-Nutzenfunktion "leer". Das durch x* = 0.5 spezifizierte Gleichgewicht ist nicht teilspielperfekt.

Dieses Beispiel deutet an, wodurch ein teilspielperfektes Gleichgewicht gekennzeichnet sein muss: Der Spieler i, der an der Reihe ist, abzulehnen oder zu akzeptieren, muss indifferent sein zwischen der "heutigen" Auszahlung bei Annahme des Vorschlags und der "morgigen" Auszahlung bei Ablehnung. Da dies in jeder Periode zu gelten hat, muss dies für jeden der beiden Spieler gelten, wann immer er vor die Entscheidung gestellt werden könnte.

Wir können nun die teilspielperfekten Gleichgewichte des Rubinstein-Spiels durch folgende Bedingungen beschreiben:

Die Zuteilungspaare (x*, 1-x*) und (1-y*, y*) beinhalten teilspielperfekte Gleichgewichte, falls das Paar (x*, y*) die beiden Gleichungen x = x(y) und y = y(x) erfüllt, wobei

  • y(x) = 1 für all jene x, für die u1(1-y,t) > u1(x,t+1) und y(x) = y für all jene x, für die u1(1-y,t) = u1(x,t+1)
sowie
  • x(y) = 1 für all jene y, für die u2(1-x,t) > u2(y,t+1) und x(y) = x für all jene y, für die u2(1-x,t) = u2(y,t+1)

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