Veranstaltung2006:Übungsaufgaben

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Hier werden die wöchentlichen Vorschläge für die Übungsaufgaben bereitgestellt. Es ist geplant, jeweils 2 Aufgaben vorzuschlagen. Weitere 2 Übungsaufgaben sollte sich jeder Teilnehmer selber erstellen, behandeln und einreichen. Die Abgabe erfolgt elektronisch: Siehe hierzu Account.


== Blatt 1 == (wurde in Papierform verteilt)

Inhaltsverzeichnis

Blatt 2

===Aufgabe 3:=== Durch die folgende Auszahlungsmatrix wird ein Spiel in Normalform gegeben:

Fußball Tanzen
Fußball 3, 1 0, 0
Tanzen 0, 0 1, 3

Man bestimme ausführlich sämtliche Nashgleichgewichte in gemischten Strategien.
Man liefere eine Interpretation des Spiels und bewerte die Nashgleichgewichte.

===Aufgabe 4:=== Analog zur Elimination durch strikt dominante Strategien lässt sich auch ein Verfahren der Elimination durch schwach dominante Strategien einführen (bei endlichen Spielen in Normalformen). Natürlich wird auch dieses Verfahren nicht immer anwendbar sein.

  • Das Verfahren soll beschrieben werden.
  • Welche Aussagen aus der Vorlesung lassen sich vom strikten auf den schwachen Fall übertragen?
  • Man gebe das Beispiel eines Spieles mit mehreren Nashgleichgewichten, bei dem durch das Verfahren der Elimination durch schwach dominante Strategien ein 'schlechtes' Nash-GG als Resultat der iterierten Elimination herauskommt. Kann das im strikten Fall passieren?
  • Man gebe das Beispiel eines Spieles, das bei dem Verfahren der Elimination durch schwache Dominanz zu verschiedenen Nashgleichgewichten führt.

Abgabe am 12.5.2006, bis 11 Uhr, elektronisch!

Blatt 3

===Aufgabe 5:=== Beim Cournot-Duopol (und -Oligopol)

  • verändere man als Teilaufgabe a) das Modell durch Ersetzung der identischen Produktionskosten ci(qi) = Cqi durch unterschiedliche Produktionskosten ci(qi) = Ciqi für jeden Spieler mit Konstanten Ci > 0 und bestimme alle Nash-Gleichgewichte. Man gebe eine Interpretation des Ergebnisses. Was ändert sich, wenn noch eine produktionsunabhängige Konstante Ai > 0 eingeführt wird mit ci(qi) = Ciqi + Ai, welche Basiskosten darstellt?
  • verändere man als Teilaufgabe b) das Modell durch Ersetzen der Preisfunktion in der Weise, dass sich für kleine Preise (nahe 0) und Preise nahe dem Höchstpreis P an die Realität besser angepasste Preise ergeben (mit Begründung). Wie steht es jetzt mit den Nash-Gleichgewichten? Gibt es Preisfunktionen mit mehreren verschiedenen Nash-Gleichgewichten? Oder gar mit unendlich vielen?
  • verändere man als Teilaufgabe c) das Modell, indem man Kartellabsprachen einbezieht. Es stellt sich heraus, dass die Anbieter mit einer geeigneten Absprache, die sie auch wirklich einhalten, mit einer geringeren Angebotsmenge als im Nash-Gleichgewicht einen höheren Gewinn erzielen können ('Pareto-Optimum'). Beweis!
  • verändere man als Teilaufgabe d) das Modell in der Variante c) bei N > 2 Anbietern insofern, als es ein Kartell mit mindestens 2 Anbietern aber weniger als N Anbieter gibt, und die anderen Anbieter sich nicht an die Vorgaben des Kartells halten ("sie brechen das Kartell"); zusätzlich habe das Kartell das Privileg des Marktführers, d.h. das Kartell entscheidet vorab und die Anbieter, die nicht im Kartell sind, reagieren danach (es kommt also zu einer Mischung des Cournot-Modells mit dem Stackelberg-Modell). Wie sehen die Nash-Gleichgewichte aus mit welchen Ergebnissen (Gewinnen)?

Man kann das Modell noch weiter verallgemeinern, indem man zwei Kartelle gegeneinander antreten lässt, oder mehrere Kartelle und mehrere Abweichler betrachtet, die teilweise simultan und teilweise nacheinander ziehen (d.h. ihre Entscheidung treffen).

Aufgabe 6:

  • a) Im Spiel der beiden Affen aus der Vorlesung (siehe auch Lektion 2) prüfe man zunächst, ob die Nash-Gleichgewichte, die in der Vorlesung bestimmt wurden, auch wirklich genau die Nash-Gleichgewichte im Sinne der Definition des Nash-Gleichgewichts für Spiele in extensiver Form sind.
  • b) Sodann diskutiere man, in welchem Sinne den drei vorgestellten Varianten des Spiels auch gemischte Strategien zugeordnet werden können. Man bestimme nun alle Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien und interpretiere die evtl. neu hinzugekommenen.
  • c) Man erweitere das Spiel, indem dem ersten Spieler im Anschluss an den Zug des zweiten noch ein weiterer Zug eingeräumt wird. Zum Beispiel, indem der Wartende durch Verstecken seinen Anteil erhöhen kann, was aber Energie kostet, und/oder indem der Kletternde es schafft, mit einem gewissen Energieaufwand sich einen höheren Anteil zu sichern, oder ... . Oder auch, indem man einfach den Spielbaum um eine Stufe verlängert (d.h. an einigen der Endknoten geeignete Kanten (jeweils mindestens 2) oder Bäume anfügt) und die neuen Endknoten mit sinnvollen "Auszahlungen" versieht. Man analysiere nun dieses Spiel (Nash-GG, auch gemischt, und Interpretation).
  • d) Gibt es in dieser Modifizierung des Spiels immer ein Nash-Gleichgewicht in "reinen" Strategien?

Blatt 4

===Aufgabe 7:=== Gegeben sei das Nimm-Spiel mit 6 Streichhölzern zu Beginn. Jeder der zwei Spieler zieht abwechselnd, indem er 1, 2 oder 3 Streichhölzer vom Stoß nimmt. Gewonnen hat der Spieler, der den letzten Zug macht, bzw. verloren hat der, der nicht mehr ziehen kann. 'Gewonnen' werde mit der Auszahlung 10 und 'Verloren' mit der Auszahlung 0 belegt.

  • a) Analog zu der Behandlung des entsprechenden Spiels in der Vorlesung beschreibe man dieses Spiel ausführlich als ein extensives Spiel, insbesondere durch explizite und vollständige Angabe der Menge H der Historien und ihrer Visualisierung als Spielbaum, und der Funktionen j und u.
  • b) Sodann verkürze man den Spielbaum bzw. H durch Streichen der überflüssigen Aktionen in allen einelementigen Aktionsmengen Ah.
  • c) Man bestimme sämtliche Nash-Gleichgewichte.
  • d) Man bestimme die teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte. Welche dieser Gleichgewichte geben wirklich Sinn?
  • e) Als Variante studiere man das Spiel mit derselben Spielstruktur aber mit der in folgender Weise veränderten Auszahlung: 'Gewonnen' bringt 10 - Länge der Historie; 'Verloren' bringt 2 - Länge der Historie.
  • f) Evtl. weitere Varianten durch Veränderung der Auszahlung, zum Beispiel durch Umdrehen der Gewinn-Regel: Gewonnen hat der, der den vorletzten Zug macht.

===Aufgabe 8: === Gegeben sei das Spiel mit N Spielern, die nacheinander je einmal ziehen: 1 als Erster mit der Wahl zwischen S, dann ist das Spiel zu Ende und alle Spieler erhalten die Auszahlung A > 0, und F, dann ist Spieler 2 an der Reihe. Ebenso hat Spieler n < N die Wahl zwischen S, dann ist das Spiel zu Ende und alle Spieler erhalten die Auszahlung A/n > 0, und F, dann ist Spieler n+1 an der Reihe. Der letzte Spieler N hat die Wahl zwischen S mit Auszahlung A/N für alle und E mit der Auszahlung 2A für alle. Man beschreibe das Spiel durch explizite Angabe von M, H, j und u, und bestimme alle Nash-Gleichgewichte und teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte. Man diskutiere und interpretiere das Resultat. Wird in der Realität wirklich das 'gute' Nash-Gleichgewicht gewählt? Wie sicher kann man da sein?

Wie immer: Man untersuche Varianten. Zum Beispiel eine Variante, in der jeder Spieler mehrfach am Zug ist, oder auch eine mit Spielern, die unendlich oft am Zug sein können; jeweils mit angepassten Auszahlungen, die nicht identisch sein müssen wie in dem vorgegebenen Spiel.

Blatt 5

===Aufgabe 9:=== Gegeben sei ein Spiel G = (M,H,j,u) in extensiver Form mit vollkommener Information. Zu jeder Historie h aus H werde das Teilspiel, das bei h beginnt, mit G(h) bezeichnet. Für eine Strategie si (bzw. Nutzenfunktion ui) zum Spiel G werde die Restriktion auf G(h) mit si|h (bzw. ui|h) bezeichnet.
G habe einen endlichen Horizont, d.h. alle Historien h aus H sind endliche Folgen.
Man beweise ausführlich die folgende Aussage für eine Strategiekombination s* im Spiel G:
s* ist genau dann teilspielperfekt, wenn für alle h aus H und alle i aus M mit j(h) = i gilt: Für alle Strategien si des Spielers i in dem Teilspiel G(h), die sich von s*i|h - wenn überhaupt - lediglich in der Aktionsmenge Ah unterscheiden, ist stets die Ungleichung

ui|h(s*|h) = ui|h(s*i|h,s*-i|h) ≥ ui|h(si,s*-i|h)

erfüllt.

===Aufgabe 10=== Man führe die Rückwärtsinduktion bei dem folgenden Spiel mit 2 Spielern komplett durch:
1 zieht zunächst mit drei Aktionsmöglichkeiten L, M, R . Dann sei 2 jeweils am Zug mit L, M, R . Schließlich werde das Spiel beendet, wenn 1 bei (L,X) unter den Aktionen L oder R auswählt (X = L, M, R) . Die Auszahlungen sind:

    u(L,L,L) = (2,1) ; u(L,L,R) = (1,2) 
    u(L,M,L) = (1,1) ; u(L,M,R) = (1,1) 
    u(L,R,L) = (1,2) ; u(L,R,R) = (2,1) 
    u(M,L) = (0,0) ; u(M,M) = (0,1) ; u(M,R) = (1,1) 
    u(R,L) = (2,2) ; u(R,M) = (1,2) ; u(R,R) = (0,10) 

Werden auf diese Weise alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte erreicht?

Gibt es noch weitere Nash-Gleichgewichte und welche?

Was kann man in diesem Spiel mit der Methode der (strikten) Dominanz erreichen?

===Zusatzaufgabe=== In einem Verhandlungsspiel mit 3 Spielern 1,2 und 3 geht es darum, I = [0,1] aufzuteilen. Die möglichen Verhandlungsergebnisse werden durch die Menge Q = {(q1, q2, q3) : qi aus I und q1 + q2 + q3 = 1 } repräsentiert. Die Nutzenfunktionen in Abhängigkeit von den Verhandlungsrunden n aus T = {1,2,3, ...} sind ui (q,n) = δn-1qi (mit einem Diskontfaktor δ , 0 < δ < 1). Die Verhandlungsprozedur läuft folgendermaßen ab:
Als Erstes macht 1 einen Vorschlag aus Q .
In der Runde n sei der Spieler j am Zug, und es sei q aus Q sein Vorschlag. Dann kommt (j + 1)mod 3 an die Reihe mit der Möglichkeit abzulehnen oder zu akzeptieren. Im Falle, dass er akzeptiert hat, kommt (j + 2)mod 3 zum Zug mit mit der Möglichkeit abzulehnen oder zu akzeptieren. Haben beide akzeptiert, so endet das Spiel mit dem Ergebnis q. Andernfalls beginnt die Verhandlungsrunde n + 1 damit, dass jetzt der Spieler (j + 1)mod 3 an der Reihe ist, einen Vorschlag zu machen.

Man modelliere das Spiel in extensiver Form mit genauer Angabe von H, j, u .

Man bestimme eine Reihe von Nash-Gleichgewichten.

Man zeige für 2δ ≥ 1 : Zu jedem Vorschlag q gibt es ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, welches unmittelbar zur Akzeptanz von q führt.

Was ist die Bedeutung dieses Resultats?

Blatt 6

===Aufgabe 11:=== In einem Fussballturnier mit N = 2m Mannschaften (m ≥ 2) spielt jede Mannschaft gegen jede in genau N-1 Runden, in denen die Spiele jeweils simultan durchgeführt werden. Die Mannschaften mögen (aufsteigend) entsprechend ihrer Spielstärke angeordnet sein. Jede Mannschaft i hat entsprechend ihrer Spielstärke ein Einsatzpotenzial in 'Spielstärkepunkten' p(i) mit p(i+1) ≥ p(i) für alle i < 2N. Als Strategie wählt jede Mannschaft i in jeder Runde n einen Anteil ai,n (als aktuelle Spielstärke) aus dem Intervall [0,p(i)], so dass die Summe der ai,n den Wert p(i) nicht überschreitet. Gewonnen hat in einem Spiel i gegen j in der Runde n die Mannschaft i, wenn ai,n > aj,n + η für ein kleines η ≥ O . Wenn weder i noch j in diesem Spiel gewinnt, gilt das Spiel als unentschieden. Die Auszahlung für i nach Absolvierung aller Spielrunden ist die Summe aus den Punkten aller Spiele, wobei wie üblich jeder Sieg 3 Punkte und jedes Unentschieden 1 Punkt zählt.

  • Man beschreibe die Spielform ausführlich als ein extensives Spiel mit simultanen Spielzügen.
  • Dasselbe für den Fall, dass jede Mannschaft zweimal gegen jede andere spielt, jeweils in einem Heim- und einem Auswärtsspiel.
  • Man diskutiere im Falle N = 4, η = 0,2 und p(i) = 12 + i , i = 1,2,3,4 verschiedene Strategien und bestimme Nash-Gleichgewichte.
  • Was ändert sich bei der Wahl von p(i) = 12 (konstant)? Und welche Strategien sind optimal bei sehr großen Abständen zwischen den p(i)
  • Welchen Einfluss hat die Veränderung von η ?
  • Welchen Einfluss haben Hin- und Rückspiel, wenn in jedem Spiel der Heimmannschaft noch ein Extraspielstärkepunkt zugeordnet wird.
  • Das Ganze für N = 6 und 8? Allgemein N?
  • Wie kann man in vernünftige Weise den Zufall bzw. Glück in diesem Spiel modellieren?
  • Iteration?

===Aufgabe 12:=== Durch die folgende Auszahlungsmatrix wird ein Spiel G in Normalform gegeben (Chicken):

V A
V 4, 4 1, 6
A 6, 1 -3, -3

Für das unendliche oft iterierte Spiel G(δ) zeige man:

  • t* = (t,t) ('Tit for Tat') ist ein Nash-GG, das nicht teilspielperfekt ist. Dabei ist für Spieler 1 die Strategie t folgendermaßen gegeben: t(Ø) := V und für h = (a1, a2, ... an) mit an = (x,y) ist t(h) := y . Falls δ ≥ 2/3.
  • Die modifizierte Strategie t'* = (t',t') ist ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Falls δ ≥ 2/3.
  • Im Falle δ ≥ 0,4 ist die s°* = (s°,s°) mit s° Triggerstrategie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. (Nachtrag am 12.7.: Das ist nicht richtig, die Triggerstrategie ist wie 'Tit for Tat' und analog dazu nicht teilspielperfekt; erst eine modifizierte Triggerstrategie, die nicht stur beim Bestrafen bleibt, ist teilspielperfekt. Eine solche Strategie wird zum Beweise des 'perfekten' Folk-Theorems verwendet, bei dem es um die Existenz eines teilspielperfekten Strategieprofils geht, dessen Auszahlungsergebnis in der Nähe eines sinnvoll vorgegebenen Auszahlungsvektors liegt.)
  • Was ist der Unterschied in den Ergebnissen h(s*) in den 3 Strategien? Was ist der Unterschied der Strategien? Wie lässt sich das verstehen?
  • Haben die Strategien eine Chance im endlich oft iterierten Spiel ein Nash-Gleichgewicht zu sein?
  • Eine weniger heftig strafende Strategie ist die folgende Strategie: Für Spieler 1 setze p(Ø) := V und mit h = (a1, a2, ... an) setze p(h) := V , wenn an = (A,A) oder (V,V) andernfalls p(h) := A . Auch diese Strategie liefert ein teilspielperfektes Nash-GG p* = (p,p) für geeignete δ. Interpretation?!
  • Man diskutiere die verschiedenen vorgestellten Strategien auf ihre Bedeutung für die Interpretation von Verhaltensweisen in entsprechenden Konfliktsituationen.

Blatt 7

===Aufgabe 13:=== Fortsetzung von Aufgabe 12:
a) Man beschreibe die in Aufgabe 12 erklärten Strategien mit 'Maschinen'.
b) Man zeige, dass die verallgemeinerte Triggerstrategie aus dem Beweis des Folk-Theorems I den Bestrafenden sehr schlecht stellt und insofern die Strategie nicht ganz glaubwürdig ist.
c) Ist diese Strategie teilspielperfekt?

===Aufgabe 14:=== Das Einsatzspiel ist ist das uns bekannte Spiel mit 8 Spielern, den Strategiemengen Si = [0,1.000] und ui(s) = 1/2(s1 + s2 + ... +s8) - si.
a) Man bestimme u(S), conv u(S), vi und {w ∈ conv u(S) : wi > vi für alle i} (Skizzen zur zwei- und dreidimensionalen Projektion).
b) Man beschreibe zu diesem Spiel als Basisspiel explizit und ausführlich die verallgemeinerte Trigger-Strategie bei unendlicher Iteration aus dem Beweis des Folk-Theorems, insbesondere auch als Maschine.
c) Man verifiziere die Aussage des Folk-Theorems mit Bestimmung von δ (d.h. Beweis von diesem Spezialfall bei geeigneter Vorgabe von w) möglichst mit einer Verschärfung.
d) Man variere die Strategie, um eine teilspielperfekte Strategie zu erhalten, die die Bestrafenden deutlich besser stellt und bei der zu dem 'Pfad' der wiederholten Basisaktion zurückgefunden wird.


Blatt 8

===Aufgabe 15:=== Zur Existenz von ESS: Durch die folgende Tabelle ist ein Normaleformenspiel gegeben. Man bestimme alle Nash-Gleichgewichte und zeige, dass dieses Spiel keine ESS besitzt. Man vergleiche mit dem 'Existenzsatz' bei 2 Spielern!

A B C
A 0.5 , 0.5 1 , -1 -1 , 1
B -1, 1 0.5 , 0.5 1 , -1
C 1 , -1 -1 , 1 0.5 , 0.5

===Aufgabe 16:=== Man beweise die folgende Charakterisierung von evolutionär stabilen Strategien (ESS) bei einem endlichen symmetrischen Normalformenspiel mit 2 Spielern, dessen Auszahlungsmatrix mit A bezeichnet werde:
Eine gemischte Strategie p ∈ Δ ist genau dann ESS, wenn es in Δ eine Umgebung U von p gibt, so dass für alle q ∈ U \ {p} gilt: pTAq > qTAq .
Man folgere, dass für eine ESS p das symmetrische Nash-GG (p,p) isoliert in der Menge der Nash-Gleichgewichte liegt, und dass deshalb die Menge der ESS endlich (gegebenenfalls sogar leer) sein muss.

Zusatzaufgabe zur WM

Eine Population von Studentinnen und Studenten spielt das folgende Spiel über die zwei möglichen Gesprächsthemen beim Mittagessen: 'Fußball' (F) und 'Ökonomie' (E). Die folgende Tabelle zeigt die Auszahlungen für zwei Studenten(-innen), die jeweils am selben Tisch essen:

F E
F 1, 1 0, 0
E 0, 0 2, 2

Man beweise: Es existieren zwei Nash–Gleichgewichte in reinen und eines in gemischten Strategien. Welche sind diese Gleichgewichte und welche Gleichgewichte sind evolutionär stabil, d.h. kommen von evolutionär stabilen Strategien, welche sind stabil und welche asymptotisch stabil?

Wie wird sich die Population langfristig entwickeln?

Blatt 9

===Aufgabe 17:=== Man diskutiere ausführlich zu einem symmetrischen Spiel mit nur 2 Strategien und der Auszahlungsmatrix A = (aμν) den Ausnahmefall (a21 - a11)( a12 - a22) = 0.

===Aufgabe 18:=== Zum Fundamentalsatz der Selektion:

  • Man zeige durch ein Beispiel, dass der Fundamentalsatz für nicht symmetrische Matrizen nicht gilt, d.h. es gibt m x m - Matrizen A und Lösungen x(t) der Replikatorgleichung x′ = FA(x), x(0) ∈ Δ, so dass die totale Fitness w(t) = x(t)TAx(t) nicht monoton wachsend ist.
  • Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Matrix A, für die die totale Fitness w(t) = x(t)TAx(t) zu Lösungen x(t) zwar wächst (entsprechend der Aussage des Fundamentalsatzes), aber je nach Anfangsbedingungen gegen verschiedene Maximalwerte.
  • Kann man sich beliebige Werte Wj < Wj+1 aus R, j = 0,1, ... ,k vorgeben und dazu eine symmetrische Matrix A finden, so dass diese Wj alle durch die totale Fitness zu A beliebig angenähert werden (t → ∞ )? Man diskutiere die Interpretation des Resultats.

Zusatzaufgabe:

Es geht in dieser Aufgabe um die Erweiterung der evolutorische Spieltheorie auf den nicht symmetrischen Fall und weniger um die WM. Wie könnte zunächst die Definition einer evolutorisch stabilen Strategie in asymmetrischen Spielen lauten? Man wende diese, soweit erforderlich an den Varianten des folgenden Spiels an:

Im Fußball kann eine Zweikampfsituation (Stürmer der einen Mannschaft gegen Verteidiger der anderen Mannschaft) oft ein ganzes Spiel entscheiden. Eine solche Situation ließe sich idealisiert folgendermaßen beschreiben: Der ballbesitzende Stürmer kann Links oder Rechts am Gegenspieler vorbei dribbeln, wohingegen der Verteidiger entsprechend Links oder Rechts (aus Sicht des Stürmers) den Weg blockieren kann. Erahnt der Verteidiger den Weg des Stürmers, so geht er als Gewinner und der Stürmer als Verlierer des Zweikampfes hervor. Erahnt hingegen der Stürmer die Bewegung des Verteidigers, so wird er Problemlos vorbeidribbeln können und somit als Gewinner und der Verteidiger als Verlierer des Zweikampfes hervor gehen.

  • a)Man formalisiere diese Situation als ein Spiel in Normalforn und suche nach möglichen evolutionär stabilen Strategien.
  • b) Was verändert sich bei a), wenn man festlegt, dass nur der Stürmer die Möglichkeit zum Gewinnen hat, wohingegen der Verteidiger maximal ein Unentschieden statt eines Gewinns erreichen kann?
  • c) Was verändert sich bei b), wenn man festlegt, dass der Stürmer nur dann die Möglichkeit hat zu gewinnen, wenn er Links vorbeidribbelt, weil auf der rechten Seite weitere Verteidiger stehen und somit der Schuss zum Tor blockiert ist?
  • d) Was verändert sich bei c), wenn man festlegt, dass der Verteidiger doch gewinnen kann, wenn der Stürmer auf der Rechten Seite nur das Seitenaus besitzt: Wählt der Stürmer Rechts und der Verteidiger Links, so läuft der Stürmer mit dem Ball ins Seitenaus, was dann den Ballbesitz für die Mannschaft des Verteidigers bedeuten würde.
  • e) Was verändert sich bei a)(und Optional bei b),c) und d)), wenn man in Anlehnung an das Falke-Taube-Spiel den Strategieraum der Spieler, um „aggressiv X“ und „defensiv X“ - wobei X entweder für „Links“ oder „Rechts“ steht - auf ein 4x4-Spiel mit entsprechenden Auszahlungen erweitert?

Abgabe: 30.6.06

Blatt 10

===Aufgabe 19:=== Bekanntlich wird eine Strategie eines symmetrischen, endlichen Spiels mit zwei Personen, die strikt dominiert wird, in der Replikatordynamik 'ausgelöscht' in dem Sinne, dass sie für große Zeiten (bei Anfangswerten im Inneren von Δ) beliebig klein wird. Was kann man in Analogie zu diesem Resultat im Falle von schwacher Dominanz beweisen? Diskussion und Beispiel(e).

Vorschlag: Wenn die μ-te Strategie durch y ∈ Δ schwach dominiert wird und außerdem für die ν-te Strategie noch

yTAeν > eμTAeν

gilt, so folgt für jede maximale Lösung x der Replikatorgleichung mit Anfangswert x(0) = b ∈ int(Δ):

limt → ∞xμ(t) = 0 oder limt → ∞ xν(t) = 0 .

===Aufgabe 20:=== Man beweise für das evolutorische Spiel zur Matrix A mit den Einträgen

0   -18   9
9    0    9
9   +36   0

ausführlich: Das Spiel hat eine eindeutig bestimmte Nashgleichgewichtsstrategie x*, die nicht evolutionär stabil ist, die aber ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht der Replikatorgleichung ist. In einer Skizze beschreibe man den Verlauf der Trajektorien.

Abgabe: 7.7.06

Blatt 11

===Aufgabe 21:=== Durch die Matrix

0    a    b
b    0    a
a    b    0

mit reellen Zahlen a,b , die nicht beide verschwinden, sei ein symmetrisches 2-Personen-Spiel definiert, dass im folgenden analysiert werden soll.

  • Man interpretiere dieses Spiel als eine Verallgemeinerung des klassichen Spiels Stein, Schere, Papier (Hinweis: a = 1 = - b).
  • Man zeige, dass s = (1/3,1/3,1/3) die einzige Nash-Gleichgewichtsstrategie ist.
  • Ist s auch eine evolutionär stabile Strategie?
  • In Abhängigkeit von d = a + b (d > 0, d = 0, d < 0) analysiere man die zugehörige Replikatorgleichung auf Stabilität und asymptotische Stabilität.
  • Insbesondere zeige man, dass im Falle von d = 0 die Lösungen im Inneren von Δ periodisch sind. Man gebe die Bahnen der Lösungen möglichst explizit an (z.B. für a = 1 = - b).

===Aufgabe 22:=== Gegeben sei das folgende Spiel in extensiver Form mit den 2 Spielern 1 und 2 und dem Zufall 0 :
H ist die Vereinigung von

  • E0 = {Ø}
  • E1 = {(a),(b)}
  • E2 = {(a,E),(a,F),(b,E),(b,F)}
  • Z = {(a,E,s),(a,F,s),(b,E,x),(b,F,x),(a,E,t),(a,F,t),(b,E,y),(b,F,y)}

Die Informationszerlegungen seien

  • P1 = {{(a)},{(b)}}
  • P2 = {{(a,E),(a,F)},{(b,E),(b,F)}}

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung beim ersten Zug, sei (1/2,1/2).

  1. Man erstelle den Spielbaum mit Kennzeichnung der Informationsmengen und man beschreibe die gemischten Strategien und die Verhaltensstrategien dieser Spielform.
  2. Bezüglich der Auszahlungsfunktion u(a,E,s) = (2,0) ; u(a,F,s) = (0,2) ; u(a,E,t) = (0,2) ; u(a,F,t) = (2,0) ; u(b,E,x) = (4,2) ; u(b,F,x) = (2,4) ; u(b,E,y) = (2,4) ; u(b,F,y) = (4,2) erstelle man die Bimatrix der normalen Darstellung.
  3. Für kleine p und q diskutiere man den Effekt (z.B. Unterschied bei Veränderung der p, q) des Strategieprofils (s1,s2), wobei s1 = p(E,E) + p(F,F) + (1/2 - p)(E,F) + (1/2 - p)(F,E) und s2 = q(s,x) + q(t,y) + (1/2 - q)(s,y) + (1/2 - q)(t,x) analog.
  4. Welchen Verhaltensstrategien sind diese gemischten Strategien zugeordnet?
  5. Man bestimme die Nash-Gleichgewichte.
  6. Wie verändern sich die Resultate, wenn die Eingangswahrscheinlichkeit variiert wird?
  7. Man versuche, eine Interpretation des Spieles zu finden.

Abgabe: 14.7.06

Blatt 12

===Aufgabe 23:=== Das Abstimmungsspiel mit 3 Spielern und drei Alternativen F, R, Z soll modelliert und analysiert werden. Einfache Mehrheiten 'gewinnen' und Stimmenthaltungen sind nicht möglich. In der ersten Runde wird zwischen F und R gewählt, in der zweiten Runde zwischen Z und der Alternative, die sich in der ersten Runde durchgesetzt hat. Die Auszahlungen sind

u1(F) = 1  ; u1(R) = 0  ; u1(Z) = -1

u2(F) = -1 ; u2(R) = 1  ; u2(Z) = 0

u3(F) = 0  ; u3(R) = -1 ; u3(Z) = 1

Dieses Spiel aus der Vorlesung soll auf elementare Weise weiter untersucht werden.

  1. Beschreiben Sie das Spiel explizit als extensives Spiel ohne vollkommene Information durch Angabe aller Historien als 0-1-Folgen (i.e. Folgen mit Folgenglieder nur 0 oder 1) der Länge kleiner oder gleich 6.
  2. Geben Sie alle reinen Strategien explizit an und alle Verhaltensstrategien (gegebenenfalls wieder als 0-1-Folgen), und ermitteln Sie jeweils die Anzahlen an reinen Strategien bzw. Verhaltensstrategien.
  3. Wie steht es mit der (Ausgangs-) Äquivalenz von Verhaltensstrategien und gemischten Strategien in diesem Spiel?
  4. s* sei das folgende Strategieprofil: 1 wählt in der ersten Runde R und in der zweiten Runde immer nicht Z; 2 wählt in der ersten Runde R und in der zweiten Runde immer R, wenn es zur Wahl steht ansonsten Z; 3 wählt in der ersten Runde F, und in der zweiten Runde immer Z. Dann ist s* ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Man diskutiere, ob es noch weitere teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte gibt, und interpretiere sie gegebenenfalls.
  5. Ergänzend: Gibt es mit dominierte oder schwach dominierte Strategien?

===Aufgabe 24:=== Auch der Begriff teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht ist nicht 'perfekt', wie das folgende Beispiel zeigen soll:

           o 1
          / \
       a /   \ b
        /     \
       o       o 2
     (1,9)    / \
           c /   \ d
            /     \
           o       o
         (0,2)   (2,3)

Man bestimme alle Nash-Gleichgewichte, und bestimme ein Strategieprofil s*, das Nash-Gleichgewicht, aber nicht teilspielperfekt ist.

Man begründe, warum das folgende Spiel (mit einem dritten Spieler ohne Entscheidungskompetenz) dem obigen Spiel gleichwertig ist (die gestrichelte waagerechte Linie beschreibt die Informationsmenge I von 3: I = {(a),(b,c),(b,d)}):

           o 1
          / \
       a /   \ b
        /     \
       /       o 2
      /       / \
     /     c /   \ d
    /       /     \
   o-------o-------o 3
   |       |       |
   |e      |e      |e
   |       |       |
   o       o       o
(1,9,0) (0,2,0) (2,3,0)

Man zeige, dass in dem oberen Spiel das Strategieprofil s* so gewählt werden kann, dass das Profil s'* in dem unteren Spiel, das diesem Profil entspricht, ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht ist.

Abgabe: 21.7.06

Blatt 13

Noch eine letzte Runde mit Aufgaben zur sequenziellen Rationalität (d.h. sequenziellen Gleichgewichten) für die, die noch weitere Aufgaben lösen möchten:

===Aufgabe 25:=== Eine geringfügige Variante unseres Führungsbeispiels (zur Motivation des Begriffs der sequenziellen Rationalität) ist das durch den folgenden Spielbaum gegebene extensive Spiel:

          o 1
         /|\
        / | \
       /  |  \
    L /  M|   \ R
     /    |    \
    o     o.....o 2
   2,2   /|     |\
        / |     | \
      l/  |r   l|  \r 
      /   |     |   \
    0,x  1,1   3,1  0,0

mit x im Intervall [0,2] (anstelle von x = 2). Man bestätige noch einmal, dass für x = 2 durch (L,r) ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht gegeben ist, das nicht plausibel aber auch nicht sequenziell rational ist. Wie seht es mit den anderen a? Für welche a ist (L,r) sequenziell rational (mit welchen Einschätzungen)? Handelt es sich um plausible Gleichgewichte?

===Aufgabe 26:=== (Selten's Horse) Das folgende Spiel

        1               C        2      c   
         o------------------------o-----------o 1,1,1
         |                        |
       D |                        | d
         |                        |
         |          I             |
       3 o....................... o
        / \                      / \
       /   \                    /   \
    L /     \ R              L /     \ R
     /       \                /       \
    o         o              o         o
  3,3,2     0,0,0          4,4,0     0,0,1

hat zwei Typen von Nash-Gleichgewichten. Einmal

b1(Ø)(D) = 1, 
1/3 ≤ b2(C)(c) ≤ 1 , 
b3(I)(L) = 1,

und zum anderen

b1(Ø)(C) = 1, 
b2(C)(c) = 1 , 
3/4 ≤ b3(I)(R) ≤ 1,

dabei ist I = {(D), (C,c)}. Die GG vom ersten Typ können nicht Teil eines sequenziell rationalen GG sein (Hinweis: Sequenzielle Rationalität ist in {(C)} verletzt). Für den zweiten Typ ist (b,μ) sequenziell rational für μ(I)(D) = 1/3 . (Zeigen Sie auch die Konsistenz!)


===Zusatzaufgabe=== In Analogie zur Aufgabe 9 zeige man jetzt für sequenzielle Gleichgewichte bei extensiven Spielen ohne vollkommene Information aber mit vollkommenem Erinnerungsvermögen:
Seien b ein Verhaltensprofil und μ ein dazu konsistentes Einschätzungssystem. Man zeige, dass (b,μ) genau dann sequenziell rational ist, wenn kein Spieler k eine Informationsmenge I hat, bei der eine Änderung von bk(I) (bei Festhalten des Restes von b) seine erwartete Auszahlung - unter der Bedingung I zu erreichen - vergrößert.
Wieso ist dies eine zu Aufgabe 9 analoge Aussage?

Abgabe: 28.7.06

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