Triell Spiel

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Das Triell ist eine Variante des Duells mit drei anstatt mit zwei Kämpfern (jeder gegen jeden, nicht zwei gegen einen). Bekannt wurde das Triell durch seine paradoxe Eigenschaft, dass unter bestimmten Bedingungen gute Schützen gegenüber schlechten Schützen im Nachteil sind.

Wie ein Duell kann ein Triell auf unterschiedliche Art und Weisen ausgetragen werden. So muss beispielsweise vereinbart werden, ob nur ein Schuss abgegeben werden darf, oder ob solange geschossen wird, bis nur noch ein Schütze überlebt.

Trielle sind in vielfältigen Ausprägungen wissenschaftlich erforscht, insbesondere durch D. Marc Kilgour. Eine vollständige Untersuchung in Begriffen der Spieltheorie steht allerdings noch aus.

Inhaltsverzeichnis

Analyse

Gardner und Singh glaubten, dass der schwächste Schütze zum eigenen Vorteil am besten in die Luft schießt, sowie die beiden besten Schützen aufeinander. Dies ist aber nur unter bestimmten Bedingungen zutreffend, die von beiden Autoren nicht genannt wurden.

Im Folgenden werden für das Triell, wie es in den Versionen von Gardner und Singh beschrieben ist, die Grundzüge der Lösung von Kilgour dargelegt.


Das Problem

Drei Schützen veranstalten ein Triell, bei dem nacheinander geschossen wird, bis nur noch ein Teilnehmer lebt. Alle drei Schützen sind bekanntermaßen unterschiedlich gut. Um das Triell gerecht zu gestalten, wird dem schlechtesten der erste Schuss gewährt; dann folgt der zweitbeste (falls er noch lebt), dann der beste (falls er noch lebt). Danach geht es wieder beim schlechtesten los. Wohin sollen die Schützen optimalerweise zielen?

Zusätzliche Annahmen

Für eine eindeutige Bestimmung der optimalen Strategien müssen einige Eigenschaften der Nutzenfunktionen der Kombattanten klar definiert werden.

Der Nutzen von Schütze 2, wenn die Schützen 1 und 3 erschossen sind, sei u2(1,3).

Dann sind folgende Annahmen plausibel:  u_2(1,3) \ge u_2(1) = u_2(3) > u_2(1,2,3) \ge u_2(1,2) = q u_2(2,3) \ge u_2(2)

Unter weiteren Annahmen an die Nutzenfunktion können nun die optimalen Strategien bestimmt werden.

Die Lösung

Szenario 1. "nicht-feindliche" Spieler

Sind alle Spieler "nicht-feindlich" gesinnt, d. h. ist es ihnen gleich wie viele andere Spieler tot sind, solange sie nur selbst am Leben bleiben (das würde für die Nutzenfunktion des zweiten Spielers bedeuten: u(123) = u2(12) = u2(23) = u2(2)), dann ist das in-die-Luftschießen aller Spieler die einzige Lösung des Spiels.

Szenario 2. Mindestens ein "feindlicher" Spieler

Ist jedoch einer der Spieler "feindlich" gesinnt (z. B. u2(23) > u2(2) ), so gibt es - je nach Trefferwahrscheinlichkeiten der einzelnen Spieler - genau eine der folgenden Lösungen:

  • Wenn G2 > 0 : Alle schießen aufeinander.
  • Wenn G2 < 0 : Die beiden Stärksten schießen aufeinander. Der Schwächste schießt in die Luft.
  • Wenn G2 = 0 : Die beiden Stärksten schießen aufeinander. Der Schwächste schießt mit einer beliebigen Wahrscheinlichkeit auf den Stärksten.
mit G_2(a, b, c) = -1 + b + b^2 c + a \left( b + c - b^2 - 2 b c - b^2 c \right) + a^2 b^2 c \;\;\; f \ddot{u} r \;\;\; 0 < a \le b \le c < 1 

Beispiel: Für a = 1/3, b = 2/3 und c = 1 ist G2(a,b,c) = -0.24926, d.h. der Schwächste würde in die Luft schießen und die anderen beiden aufeinander.

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