Symmetrisches Spiel

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Symmetrische Spiele sind die Basisspiele der evolutorischen Spieltheorie.

Definition

Ein 2-Personenspiel in Normalform (mit Strategiemengen S1, S2 und Auszahlungsfunktionen u1, u2) heißt symmetrisch, wenn die Strategiemengen für Spieler 1 und Spieler 2 übereinstimmen, wenn also S := S1 = S2 ist, und wenn für alle Strategieprofile (s,t) aus SxS gilt:

u1(s,t) = u2(t,s).

Ein symmetrisches Spiel ist also symmetrisch hinsichtlich der Spieler: 1 und 2 sind austauschbar, sie sind nicht unterscheidbar und sie haben dieselben Strategiemengen.
Ein symmetrisches Spiel ist zudem symmetrisch hinsichtlich der Auszahlungen, d.h. u1(s,t) = u2(t,s).

Wenn die gemeinsame Strategiemenge S endlich ist, etwa S = {s1, s2, ... , sm}, so ist ein symmetrisches Spiel vollständig durch die Matrix

A = (aij) mit aij := u1(si, sj)

bestimmt.

In der evolutorische Spieltheorie setzt man diese Endlichkeit voraus. Man interessiert sich zunächst für die symmetrischen Nash-Gleichgewichte.

Beispiel

Sei S1={s1,...,sm)=S2 eine endliche Strategiemenge.

  • Das Spiel ist symmetrisch unter den Bedingungen an die Auszahlungsmatrix Uk=(uk(si,sj)) , dass

uk(si,sj)=ul(sj,si) und uk(si,si)=ul(si,si) für alle i,j: i ≠ j.
Für Uk quadratische Matrix soll also U1t = U2 gelten.

  • Damit es ein symmetrisches Nullsummenspiel ist, muss gelten:

uk(si,sj)= -ul(sj,si) und uk(si,si)=ul(si,si) => uk(si,si)=0

A B C D
A (0,0) (2,-2) (4,-4) (-3,3)
B (-2,2) (0,0) (6,-6) (8,-8)
C (-4,4) (-6,6) (0,0) (9,-9)
D (3,-3) (-8,8) (-9,9) (0,0)
Ist ein symmetrisches Nullsummenspiel ,jedoch ohen Nash-Gleichgewicht.Also hat nicht jedes endlich Nullsummenspiel für 2 Personen Ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien.
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