Stochastik:Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

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Inhaltsverzeichnis

Ergebnisraum Ω

Der Ergebnisraum ist eine nichtleere Menge \ \Omega. Die elemente von \ \Omega heißen Ergebnisse nud werden als mögliche Ausgänge eines Zufallsexperiment.


σ-Algebra

Als σ-Algebra über einer Menge Ω bezeichnet man in der Mathematik eine Menge Σ von Teilmengen von Ω, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

  •  \Omega \in \Sigma .
  •  S \in \Sigma \Rightarrow \Omega \backslash S \in \Sigma .
  • Wenn Σ eine Folge  (S_n)_{n\in \mathbb N} von Teilmengen von Ω enthält (also  S_n \in \Sigma für alle  n\in \mathbb N ), dann enthält Σ auch deren Vereinigungsmenge. Also  \cup _{n\in \mathbb N} S_n \in \Sigma .

Aus den Bedingungen 1 und 2 folgt unmittelbar, dass Σ immer die leere Menge enthält.

Aus der Analysis mehrerer Veränderlichen sind durch die Integrationstheorie die folgenden σ-Algebren bekannt: Die Borel-Algebra über dem reellen Zahlenraum \mathbb R ^{n} und die σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen, welche die Borel-Algebra umfasst.

(siehe auch Stochastik:Grundbegriffe der Maßtheorie)


Ereignisraum

Ein Paar \ (\omega, F) besteht aus einen Ergebnisraum \ \omega und einen \ \sigma Algebra \ F über \ \omega heißt Ereignisraum (synonym: messbarer Raum)

Die Elemente \ A \in F heißen Ereignisse (synonym: messbare Mengen) Das Ereignis \ \omega \in F heißt das sichere Ereignis Das Ereignis \ \emptyset=\omega^c \in F heißt das unmögliche Ereignis


Warhscheinlichkeitsmaß

Sei \ (\omega, F) ein Ereignisraum. Eine Abbildung \ P:F \rightarrow [0,1] heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf \ (\omega, F), wenn gilt:


  1. \ P( \Omega) = 1 ,
  2. Für jede \ (A_n) aus \ F von paarweise disjunkten Ereignisse gilt:

\ P(\bigcup_{n \in N} A_i)= \sum_{n \in N} P(A_i)


Die Bedingungen \ P( \Omega) = 1 , \ P(A) \ge 0  und \ P(\bigcup_{n \in N} A_i)= \sum_{n \in N} P(A_i) heißen auch Kolmogoroff Axiome


Verziehtet man auf die Normierungs Bedingung \ P( \Omega) = 1 , so gelangt man zum Maßbegriff



Wahrscheinlichkeitsraum

Ein Tripel \ ( \Omega, F, P) heißt Warhscheinlichkeitsraum.


Warhscheinlichkeit

Für ein \ A \in F nennt man \ P(A) die Warhscheinlichkeit, dass Ereignis \ A eintritt.

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