Stochastik:Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

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Inhaltsverzeichnis

1 Ergebnisraum Ω
2 σ-Algebra
3 Ereignisraum
4 Warhscheinlichkeitsmaß
5 Wahrscheinlichkeitsraum
6 Warhscheinlichkeit

Ergebnisraum $Ω$

Der Ergebnisraum ist eine nichtleere Menge $\ \Omega$ . Die elemente von $\ \Omega$ heißen Ergebnisse nud werden als mögliche Ausgänge eines Zufallsexperiment.

σ-Algebra

Als σ-Algebra über einer Menge $Ω$ bezeichnet man in der Mathematik eine Menge $Σ$ von Teilmengen von $Ω$ , die die folgenden Bedingungen erfüllt:

$\Omega \in \Sigma$ .

$S \in \Sigma \Rightarrow \Omega \backslash S \in \Sigma$ .

Wenn $Σ$ eine Folge $(S_n)_{n\in \mathbb N}$ von Teilmengen von $Ω$ enthält (also $S_n \in \Sigma$ für alle $n\in \mathbb N$ ), dann enthält $Σ$ auch deren Vereinigungsmenge. Also $\cup _{n\in \mathbb N} S_n \in \Sigma$ .

Aus den Bedingungen 1 und 2 folgt unmittelbar, dass $Σ$ immer die leere Menge enthält.

Aus der Analysis mehrerer Veränderlichen sind durch die Integrationstheorie die folgenden σ-Algebren bekannt: Die Borel-Algebra über dem reellen Zahlenraum $\mathbb R ^{n}$ und die σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen, welche die Borel-Algebra umfasst.

(siehe auch Stochastik:Grundbegriffe der Maßtheorie)

Ereignisraum

Ein Paar $\ (\omega, F)$ besteht aus einen Ergebnisraum $\ \omega$ und einen $\ \sigma$ Algebra $\ F$ über $\ \omega$ heißt Ereignisraum (synonym: messbarer Raum)

Die Elemente $\ A \in F$ heißen Ereignisse (synonym: messbare Mengen) Das Ereignis $\ \omega \in F$ heißt das sichere Ereignis Das Ereignis $\ \emptyset=\omega^c \in F$ heißt das unmögliche Ereignis