Stein-Schere-Papier

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Definition

Bei Stein-Schere-Papier handelt es sich um ein Zweipersonen-Nullsummenspiel. Die zwei Spieler wählen gleichzeitg einen der Gegenstände Stein, Schere oder Papier aus. Dabei gewinnt der Stein gegen die Schere (schleift die Schere), die Schere gegen das Papier (zerschneidet das Papier) und das Papier gegen den Stein (wickelt den Stein ein). Das Spiel kann folglich als Matrixspiel dargestellt werden:

Stein Schere Papier
Stein (0,0) (1,-1) (-1,1)
Schere (-1,1) (0,0) (1,-1)
Papier (1,-1) (-1,1) (0,0)

Gemischte Strategien für Stein-Schere-Papier

Spieler 1 wählt:

  • Stein mit der Wahrscheinlichkeit p1
  • Schere mit der Wahrscheinlichkeit p2
  • Papier mit der Wahrscheinlichkeit p3=1-p1-p2

Analog wählt Spieler 2:

  • Stein mit der Wahrscheinlichkeit q1
  • Schere mit der Wahrscheinlichkeit q2
  • Papier mit der Wahrscheinlichkeit q3=1-q1-q2


Die gemischten Strategien sind damit:

  • Für Spieler 1: σ1(p1,p2) = p1*St + p2*Sch + p3*Pa
  • Für Spieler 2: σ2(q1,q2) = q1*St + q2*Sch + q3*Pa


Die Nutzenfunktion sieht so aus:

u11, σ2) = p1q1*u(St,St) + p1q2*u(St,Sch) + p1q3*u(St,Pa) + p2q1*u(Sch,St) + p2q2*u(Sch,Sch) + p2q3*u(Sch,Pa) +p3q1*u(Pa,St) + p3q2*u(Pa,Sch) + p3q3*u(Pa,Pa)

Eingesetzt mit den Werten für Spieler 1 ergibt sich:

u1(p1,p2,p3,q1,q2,q3) = p1q2 - p1q3 - p2q1 + p2q3 + p3q1 - p3q2

Nun ersetzt man p3 = 1-p1-p2 und q3 = 1-q1-q2:

u1(p1,p2,q1,q2) = 3p1q2 - 3p2q1 - p1 + q1 - q2 + p2
u1(p1,p2,q1,q2) = (1-3p2)q1 + (3p1-1)q2 + p2 - p1

Wir machen nun eine Fallunterscheidung für p2:

  • p2 > 1/3 => Spieler 2 wählt q1 = 1/2 und q2 = 1/3:
u1 = -(1/2)p2 + 1/3 - 1/2 < 0 & u2 > 0 da Nullsummenspiel
  • p2 < 1/3 => Spieler 2 wählt q1 = 1/6 und q2 = 1/3:
u1 = (1/2)p2 + 1/6 - 1/3 < 0 & u2 > 0 da Nullsummenspiel

Dies lässt sich analog zu allen anderen Strategien durchführen und man erkennt, dass es auf jede Strategie, welche von (1/3,1/3,1/3) abweicht, eine beste Antwort gibt mit einem Nutzen u2 > 0 und damit einem Nutzen u1 < 0.

Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien lautet somit: (p*,q*)=(p1,p2,p3,q1,q2,q3) = (1/3,1/3,1/3,1/3,1/3,1/3).
Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien kann auch unter Verwendung der Simplex-Methode berechnet werden.

Die Spieler sollten also nicht von dieser Strategie abweichen, um ihren Gegenspieler keinen Vorteil zu geben. Spielt ein Spieler zum Beispiel Schere mit einer Wahrscheinlichkeit über 1/3, so würde ein rationaler Spieler 2 entsprechend reagieren und nur noch Stein spielen und damit würde Spieler 1 öfters verlieren.

Theorie und Praxis

Wenn beide Spieler rational spielen, scheint dieses Spiel eine gute Möglichkeit zu sein, Entscheidungen auszulosen. In der Praxis gibt es aber durchaus Strategien, welche von (1/3,1/3,1/3) abweichen. So wird zum Beispiel häufiger Stein gespielt, wenn der Spieler aggressiv ist. Gute Stein-Schere-Papier Spieler erkennen die Mimik und Gestik ihres Mitspieler und geben ihrer seits möglichst wenig Hinweise auf ihre Strategie. Dies geschieht zum Beispiel dadurch, dass der Spieler sich einen Block von 3 Strategien ausdenkt und diesen Block unabhängig vom Spielverlauf durchzieht.

Variante

Stein-Schere-Papier-Brunnen

Das Spiel wird manchmal um einen weiteren Gegenstand erweitert. Der Brunnen gewinnt gegen, den Stein und die Schere (Stein und Schere fallen in den Brunnen), verliert aber gegen Papier (Papier deckt den Brunnen zu). Die Matrix des erweiterten Spiels lässt sich also folgendermaßen darstellen:

Stein Schere Papier Brunnen
Stein (0,0) (1,-1) (-1,1) (-1,1)
Schere (-1,1) (0,0) (1,-1) (-1,1)
Papier (1,-1) (-1,1) (0,0) (1,-1)
Brunnen (1,-1) (1,-1) (-1,1) (0,0)

Man erkennt, dass Stein vom Brunnen schwach dominiert wird. Wir streichen daher die Strategie Stein und erhalten folgende Matrix:

Stein Schere Papier Brunnen
Stein ----- ----- ----- -----
Schere ----- (0,0) (1,-1) (-1,1)
Papier ----- (-1,1) (0,0) (1,-1)
Brunnen ----- (1,-1) (-1,1) (0,0)

Man erkennt, dass dieses Spiel, die selbe Matrix hat, wie das ursprüngliche Spiel Stein-Schere-Papier. Der Stein heißt nun Brunnen. Ansonsten hat sich nichts geändert. Der einzige Grund diese Variante zu spielen, wäre also zu Hoffen, dass der (nicht rational denkende) Mitspieler die schwach dominierte Strategie "Stein" nicht erkennt.

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