Standardisierungsspiel

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Inhaltsverzeichnis

Motivation

Dieses Spiel in extensiver Form wurde in der Vorlesung als Einleitungsbeispiel benutzt, um an Spiele ohne vollkommene Information und ohne vollständige Information heranzuführen. Es geht um zwei Unternehmen, die sich zwischen zwei verschiedenen Diskettentypen (oder CDs, DVDs,...) entscheiden müssen. Für ein besseres Verständnis wird das Spiel zunächst "in Prosa" und erst später in der mathematisch korrekten Notation behandelt.

Allgemein

Dem Standardisierungsspiel liegt folgende Situation zu Grunde: Zwei Unternehmen können zwei unterschiedliche Typen eines neu entwickelten Produkts, beispielsweise einer Diskette produzieren. Für dieses Produkt existieren noch keine Standards, die Unternehmen müssen also an vielen Punkten Entscheidungen treffen. Der Einfachheit halber betrachten wir in unserem Beispiel nur einen einzelnen dieser Entscheidungspunkte, nämlich die Größe. Beide müssen also zwischen großen und kleinen Disketten unterscheiden, wobei g eine größere Gewinnspanne beinhaltet. Wenn sich die beiden Unternehmer auf einen Standard einigen können, werden die Kunden (mangels Auswahl) diesen kaufen und sie können beide Gewinn machen - falls nicht wird das Produkt ein Flop und beide fahren Verluste ein. Weitere vereinfachte Annahmen sind dieselben Entwicklungskosten der Diskette für beide Unternehmen sowie identische Produktionskosten und damit auch identische Gewinne, wenn wir zusätzlich noch eine Halbierung des Marktes zwischen den beiden annehmen.

Zuerst entscheidet sich der Unternehmer 1 für eine der beiden Varianten, danach der Unternehmer 2.

Sei in unserem Beispiel die Auszahlungsfunktion wie folgt definiert:

  • u1(k,k)=u2(k,k)=1
  • u1(g,g)=u2(g,g)=2
  • u1(k,g)=u2(k,g)= u1(g,k)=u2(g,k)=-1

Nun lassen sich noch 2 Varianten des obigen Spiels unterscheiden:

  • Der 2. Unternehmer weiß, für welche Variante sich Unternehmer 1 entschieden hat (vollkommene Information)
  • Der 2. Unternehmer weiß nicht, für welche Variante sich Unternehmer 1 entschieden hat (unvollkommene Information)

Mit vollkommener Information

Geht man von vollkommener Information der beiden Unternehmen aus, lässt sich das Spiel durch folgenden Spielbaum darstellen:

          1
         / \
        /   \
      k/     \g
      /       \
     2         2
    / \       / \
  k/   \g   k/   \g
  /     \   /     \
(1,1)  (-1,-1)  (2,2)

Eine Strategiekombination habe folgende Form: (x,(y,z)), wobei x die Strategie von Unternehmer 1, y die Strategie von Unternehmer 2 in (k) und z die Strategie von Unternehmer 2 in (g) ist.

Wie man sofort sieht, gibt es 4 Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien:

  • (k,(k,k))
  • (k,(k,g))
  • (g,(g,g))
  • (g,(k,g))

Zwei davon sind sogar teilspielperfekt:

  • (k,(k,g))
  • (g,(k,g))

Nimmt man an, daß sich die beiden Unternehmer rational verhalten, wird wohl die Strategiekombination (g,(k,g)) gespielt werden, da dies das bessere Nash-Gleichgewicht ist (u1(g,g)=u2(g,g) ist maximal) und beide Unternehmen damit den maximal möglichen Gewinn einfahren können. Diese Überlegungen gelten aber nur dann, wenn Unternehmen 2 die Entscheidung von Unternehmen 1 kennt und darauf reagieren kann.

Mit unvollkommener Information

Geht man hingegen von unvolkommener Information der Unternehmen aus, ergibt sich der folgende Spielbaum:

          1
         / \
        /   \
      k/     \g
      /       \
     2 - - - - 2
    / \       / \
  k/   \g   k/   \g
  /     \   /     \
(1,1)  (-1,-1)   (2,2)

Das Unternehmen 2 weiß also zum Zeitpunkt seiner Entscheidung nicht, ob es sich in (k) oder (g) befindet. In diesem Fall erhalten wir eine Informationsmenge I2={(k),(g)}. Da Informationsmengen in einem Teilspiel entweder komplett enthalten sein müssen, oder keiner der Entscheidungsknoten der Informationsmenge im Teilspiel liegen darf, gibt es keine echten Teilspiele mehr.


Normalform

Man könnte sich bei dem Standardisierungsspiel mit unvollkommener Information also genausogut vorstellen, dass beide Unternehmen sich gleichzeitig entscheiden müssen. Dann ist das bisher in der extensiven Form betrachtete Spiel äquivalent mit dem folgenden Spiel in Normalform:

klein groß
klein (1,1) (-1,-1)
groß (-1,-1) (2,2)

Für dieses Spiel in Normalform findet man leicht die existierenden Nash-Gleichgewichte (k,k) und (g,g). Nach Satz (6.8) aus der Vorlesung 2006 sind die Nash-Gleichgewichte des Spiels in extensiver Form identisch mit denen des äquivalenten Spiels in Normalform. Spricht man den Unternehmen eine gewisse Rationalität zu, sieht ihr Ziel also in dem Bestreben der eigenen Gewinnmaximierung und nicht in der Verlustmaximierung ihres Konkurrenten, so sollte eine vorherige Absprache mit der Einigung auf 'groß' von beiden Seiten eingehalten werden.


Mathematische Notation

Die korrekte und vollständige mathematische Notation des Standardisierungsspiels mit unvollkommener Information ist die folgende:

  • Spielermenge: M={1,2}
  • Menge der Historien: H = Z \cupE = {(k,k),(k,g),(g,k),(g,g)}\cup {(k),(g),\varnothing}, wobei Z die Menge der terminalen Historien ist, E = E1 \cup E2 die Menge der Entscheidungshistorien.
  • Spielerfunktion: j : E \rightarrow M , mit {\varnothing}= E1 = j-1(1) und {(k),(g)}= E2 = j-1(2)
  • Die Menge der f( . |h) ist leer, da in diesem Spiel kein Zufallsspieler vorkommt.
  • Nutzenfunktion u : Z \rightarrow \mathbb{N}^2 mit u(k,k) = (1,1), u(g,g) = (2,2), u(k,g) = u(g,k) = (-1,-1)
  • Zerlegungen von E: \mathfrak{P}1 = E1 und \mathfrak{P}2 = I2 = E2

Varianten

Neben den typischen Variationen in der Auszahlungsfunktion durch etwa verschiedene Produktionskosten, verschiedene Bewertung des Spielausgangs oder ähnliches, kann man auch noch einen schwer einschätzbaren Zufallsspieler 0 ins Spiel bringen. Dieser könnte zum Beispiel das Kundenverhalten wiedergeben, falls sich beide Unternehmen für denselben Standard entscheiden. Das Kundenverhalten lässt sich naturgemäß nur schwer vorhersagen. Überwiegt die Begeisterung und das Vertrauen für die neue Technik, oder warten die Kunden zuerst mal ab, ob sich die Diskette überhaupt bewährt? Die Kunden können also entweder sich begeistern oder lieber abwarten. Dies führt zu folgendem Spielbaum:

               1
              / \
             /   \
           k/     \g
           /       \
          2 - - - - 2
         / \       / \
       k/   \g   k/   \g
       /     \   /     \
      0     (-1,-1)     0
  0,4/ \0,6         0,4/  \0,6
  b /   \ a          b/    \a
   /     \           /      \
 (1,1)  (0,0)    (2,2)     (0,0)

Die mathematische Notation muss dann wie folgt geändert werden:

  • Menge der Historien: H = Z \cupE = {(k,k,b),(k,k,a), (k,g), (g,k),(g,g,b), (g,g,a)}\cup{(k,k),(k,g),(g,k),(g,g),(k),(g),\varnothing}, wobei Z die Menge der terminalen Historien ist, E = E0 \cup E1 \cup E2 die Menge der Entscheidungshistorien.
  • Spielerfunktion: j : E \rightarrow M \cup {0} , mit {(k,k),(g,g)}= E0 = j-1(0) und {\varnothing}= E1 = j-1(1) und {(k),(g)}= E2 = j-1(2)
  • Menge der f( . |h): f(b | (k,k)) = 0,4 = f(b | (g,g)) und f(a | (k,k)) = 0,6 = f(a | (g,g)).
  • Nutzenfunktion u : Z \rightarrow \mathbb{N}^2 mit u(k,k,b) = (1,1), u(k,k,a) = (0,0) = u(g,g,a), u(g,g,b) = (2,2), u(k,g) = u(g,k) = (-1,-1)
  • Zerlegungen von E: \mathfrak{P}0 = E0 und \mathfrak{P}1 = E1 und \mathfrak{P}2 = I2 = E2
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