Signalisierungsspiele

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Signalisierungsspiele (auch: Signalspiele) sind Spiele im Sinne der Spieltheorie, in denen Entscheidungen von Spielern durch das Aussenden von Signalen ihrer Gegner beeinflusst werden. Die Grundlagen der Signalisierungsspiele wurden von Harsanyi Ende der 60er Jahre gelegt. Das bekannteste Beispiel für ein Signalisierungsspiel ist das Bier-Quiche-Spiel.

Inhaltsverzeichnis

Motivation

In extensiven Bayes-Spielen (also Spielen mit unvollständiger Information) ist man darauf angewiesen, mit Hilfe von möglichst guten (konsistenten) Einschätzungen seine Strategiewahl zu treffen. Bei einigen Varianten dieser Spiele ist es möglich, aus den bereits getroffenen Entscheidungen anderer Spieler Rückschlüsse auf deren (nicht bekannte) Auszahlungen zu ziehen, um damit die eigene Einschätzung zu optimieren. Die Theorie der Signalspiele untersucht diese Spiele.

Definition und Spielablauf

Der Begriff Signalisierungsspiele bezeichnet eine Untermenge der Bayes-Spiele: Sie sind immer ein extensives Spiel mit vollkommener, aber asymmetrisch unvollständiger Information. Das bedeutet, dass ein Spieler, der zuerst spielende informierte Spieler, neben seiner eigenen Nutzenfunktion auch die Nutzenfunktionen aller anderen Spieler kennt. Diese aber kennen nicht die genaue Nutzenfunktion, bzw. den Typ t, des informierten Spielers, sondern wissen nur, dass sie Element einer allen bekannten Menge T von Nutzenfunktionen sein muss. Man bezeichnet diese Menge der Nutzenfunktionen als Typausprägungen. Die Gegner des informierten Spielers können also (wie in einem Bayes-Spiel üblich) nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage über dessen tatsächlichen Typ treffen.

Der informierte Spieler eröffnet das Spiel durch das Senden eines Signals, indem er eine Strategie aus einer allen bekannten Menge B (den Botschaften) wählt und diese bekanntgibt. Anhand dieses Signals können dann alle anderen Spieler ihre Einschätzungen über den tatsächlichen Typ des informierten Spielers anpassen und entsprechend ziehen.

Im Folgenden betrachten wir als Vereinfachung nur 2-Personen-Signalisierungsspiele. Das führt zu der Definition:


Ein 2-Personen-Signalisierungsspiel ist Γ = (M,S,T,p,μ,u) mit

  • Spielermenge M = {1,2}, wobei Spieler 1 der informierte Spieler (auch: Sender) und Spieler 2 der nicht-informierte Spieler (auch: Empfänger) ist.
  • Strategiemenge S=B \cup A, mit
    • der Menge der Botschaften B, die Spieler 1 aussenden kann, und
    • der Menge der Aktionen A, die Spieler 2 wählen kann.
  • Menge der Typausprägungen T = {t1,...,tn}, wobei ti die möglichen Typen von Spieler 1 sind. Spieler 1 weiß immer, welcher Typ er ist, Spieler 2 dagegen nie.
  • der Wahrscheinlichkeitsverteilung \Theta=(\theta_1,...\theta_n),\; 0 \leq \theta_i \leq 1, \; \sum_n \theta_i =1, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit θi Spieler 1 vom Typ ti ist. Diese Verteilung ist allen Spielern bekannt.
  • dem Einschätzungssystem \mu=(\mu_1,...\mu_n),\; 0 \leq \mu_i \leq 1, \; \sum_n \mu_i =1, das angibt, wie Spieler 2 die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Typausprägungen von Spieler 1 einschätzt.

Ein einfaches Beispiel: Ein Autokäufer weiß, dass es Autos von guter und von schlechter Qualität gibt, kann aber, da er selber kein Automechaniker ist, die Qualität der verschiedenen Marken nicht unterscheiden. Gibt ein Auto-Hersteller nun auf seine Fahrzeuge eine lange Garantie, so sendet er damit das Signal ,,Meine Autos sind von guter Qualität”, da er andernfalls wegen der ständig anfallenden Garantiekosten bankrott gehen würde. Aufgrund dieses Signals kann der Autokäufer seine Einschätzung dann anpassen.

Man beachte, das auch ein normaler Spielzug ein Signal sein kann. So ist zum Beispiel beim Kaufhauskettenspiel das Eintreten bzw. Nicht-Eintreten in den Markt bereits ein Signal (siehe das Beispiel unten). Es ist außerdem wichtig zu beachten, dass sich der Sender der Wirkung seines Signals bewusst ist und diesen Umstand entsprechend ausnutzen kann, um z. B. seine tatsächliche Stärke zu kaschieren.

Gleichgewichte

Harsanyi zeigte, dass Spiele mit unvollständiger Information immer in Spiele mit unvollkommener Information umgewandelt werden können (Harsanyi-Transformation). Wir können also Signalisierungsspiele, die ja als Spiele mit unvollständiger Information definiert sind, im Formalismus der Spiele mit unvollkommener Information diskutieren. Es stellt sich jedoch heraus, dass das dabei verwendete Konzept des sequentiellen Gleichgewichts noch weiter verfeinert werden kann.

Trenngleichgewicht (separierendes Gleichgewicht)


Ein Trenngleichgewicht ist ein sequentielles Gleichgewicht, bei dem jeder Typ ein anderes Signal sendet.

Bei einem Trenngleichgewicht, das manchmal auch als separierendes Gleichgewicht bezeichnet wird, lässt sich aus einem Signal also eindeutig schließen, welcher Typ der informierte Spieler ist. Man sieht sofort, dass es damit mindestens so viele Signale wie Typausprägungen geben muss.

Pooling-Gleichgewicht


Ein Pooling-Gleichgewicht ist ein sequentielles Gleichgewicht, bei dem jeder Typ das gleiche Signal sendet.

Bei einem Pooling-Gleichgewicht kann also anhand der Signale nicht zwischen den verschiedenen Typausprägungen unterschieden werden.

Kriterien

Die Unterscheidung in Trenn- und Pooling-Gleichgewichte trifft zunächst keine Aussage darüber, ob die Gleichgewichte plausibel sind. Um eventuell unplausible Gleichgewichte zu eliminieren, gibt es zwei Kriterien:

  • Dominanz-Kriterium: Gleichgewichte, bei denen der informierte Spieler eine dominierte Strategie spielt, werden ausgeschlossen.
  • Intuitives Kriterium: Gleichgewichte werden ausgeschlossen, für die gilt: Es gibt einen Typ t' \in T von Spieler 1, der sich durch Abweichen auf Signal m' \in B vom Gleichgewicht verbessern kann, wenn Spieler 2 mit Wahrscheinlichkeit 0 einschätzt, dass Spieler 1 irgendein anderer Typ t'' \neq t' ist, für den m' vom Gleichgewicht dominiert wird.

Um das intuitive Kriterium formal zu beschreiben, definieren wir mit u2(t,m,a) die Nutzenfunktion von Spieler 2 für eine Aktion a \in A. Die Lösungen von

\!\,\max_a \sum_t u_2(t,m,a) \theta_t

bezeichnen wir mit R(\tau,m) \subset A (Menge der besten Antworten), wobei τ eine Teilmenge von T ist, auf die man das Maximierungsproblem einschränken will. Gibt es nun ein Signal m', das in diesem Gleichgewicht nicht gesendet wird, außerdem eine Teilmenge J von Typen und einen Typ t' \notin J, so dass für die Gleichgewichtsnutzenfunktion u_1^* von Spieler 1 gilt:

  1. \forall t \in J und \forall a \in R(T,m'): u_1^*(t) > u_1(t,m',a)
  2. \forall a \in R(T-J,m'): u_1^*(t') < u_1(t',m',a)

Dann ist das intuitive Kriterium verletzt. Ein Beispiel für die Anwendung des intuitiven Kriteriums findet sich in der Analyse des Bier-Quiche-Spiels, ein Beispiel für die Anwendung des Dominanzkriteriums folgt nun.

Beispiel: Markteintritt eines unbekanntem Konkurrenten

Um Signalisierungsspiele anhand eines einfachen Beispiels zu veranschaulichen, wählen wir eine Variante des Kaufhauskettenspiel.

Ein potentieller Konkurrent eines Monopolisten überlegt, ob er in dessen Markt eintreten (E) soll oder nicht (N). Der Monopolist hat die Wahl, sich mit dem Konkurrenten den Markt zu teilen (T) oder einen Preiskampf (K) zu beginnen. Er weiß dabei jedoch nicht, ob der Konkurrent stark (ts) oder schwach (tw)ist.

Sowohl der Monopolist als auch der Konkurrent wissen von folgenden Auszahlungen:

Signalspiel.png

Formal lässt sich dieses Spiel dann wie folgt schreiben:

  • Spielermenge M = {Konkurrent,Monopolist}, wobei der Konkurrent der informierte Spieler ist.
  • Strategiemenge S=B \cup A, mit
    • den Botschaften B = {E,N} des Konkurrenten und
    • den Aktionen A = {T,K} des Monopolisten.
  • Menge der Typausprägungen T' = {tw,ts}
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung Θ = (θws), mit θs = :θ und θw = 1 − θ.
  • Einschätzungssystem μ = (μws), wobei μs hier angibt, wie groß der Monopolist die Wahrscheinlichkeit dafür einschätzt, dass der Konkurrent stark ist, wenn er sich für einen Markteintritt entschieden hat. Es gilt außerdem μw = 1 − μs.

Der Konkurrent weiß, ob er selbst stark oder schwach ist. Mit seiner Entscheidung, ob er dem Markt beitritt oder nicht, sendet er ein Signal an den Monopolisten. Je nachdem wie dieser das Signal interpretiert, verändert sich dessen Einschätzung (für die ohne Signal offensichtlich noch μ = Θ gilt) ob der Konkurrent stark oder schwach ist.

Da wir dieses Spiel mit unvollständiger Information nach Harsanyi in ein Spiel unvollkommener Information umwandeln können, werden wir es oben gezeigtem Spielbaum entsprechend als solches analysieren. Es zeigt sich, das folgende sequentielle Gleichgewichte mit zwei verschiedenen Auszahlungen existieren:

(N,K; 0 \leq \mu_s \leq 0,75) \; \Rightarrow \; (0,100)
(E,T; \mu_s = 1) \; \Rightarrow \; (40,40)

Beweis: Sollte der Konkurrent schwach sein, lohnt es sich für den Monopolisten, immer zu kämpfen. Um seinen Nutzen aber auch für einen starken Konkurrenten zu maximieren, wird er sich immer für K entscheiden, solange gilt:

− 10μs + 160(1 − μs) > 40μs + 10(1 − μs).

Dies ist immer erfüllt für μs < 0,75, wie sich leicht nachrechnen lässt. In diesem Fall kann sich der Konkurrent - egal ob stark oder schwach - nicht durch Wechsel auf Strategie E verbessern. Wir haben daher ein sequentielles Gleichgewicht (N,K, 0 \leq \mu_s < 0,75). Im Grenzfall μs = 0,75 hängt die Entscheidung des Monopolisten davon ab, ob der Konkurrent eintritt oder nicht. Dieser wird nur dann eintreten, wenn er stark ist und eine ausreichend hohe Chance p(T) auf eine Marktteilung besteht. Es muss gelten

-10 (1-p(T)) + 40 (p(T)) \leq 0 ,

also muss die Wahrscheinlichkeit der Marktteilung mindestens p(T) \geq 0,2 sein, damit (N,Ks = 0,75) sequentielles Gleichgewicht sein kann. Wenn der Monopolist μs > 0,75 einschätzt, kann er sich durch einen Wechsel auf Strategie T verbessern. In diesem Fall gibt es daher auch keinen Grund mehr für den Konkurrenten, nicht einzutreten, solange er stark ist. Ein sequentielles Gleichgewicht verlangt aber eine konsistente Einschätzung. Da der Konkurrent im Falle von μs > 0,75 sicher eintreten wird, muss diese auf μs = 1 gesetzt werden. Wir erhalten somit das sequentielle Gleichgewicht (E,Ts = 1).

Wir wollen das Spiel auf Trenn- und Pooling-Gleichgewichte untersuchen, indem wir die bisher außer Acht gelassene Signalwirkung der Entscheidungen des Konkurrenten mit einbeziehen.

Wie man schnell sieht lohnt es sich für einen schwachen Konkurrenten nicht, in den Markt einzutreten, da er in diesem Fall immer einen geringeren Nutzen hat als bei einem Nicht-Eintritt. Nur für einen starken Konkurrenten ist ein Eintritt sinnvoll. Für den Monopolisten bedeutet das: Sendet der Konkurrent das Signal "Eintreten", wird es sich um einen starken Konkurrenten handeln; tritt der Konkurrent nicht ein, ist er schwach. Dementsprechend kann der Monopolist seine Einschätzung - unabhängig von der tatsächlichen Verteilung Θ - auf μs = 1 bzw. μs = 0 anpassen, was zu entsprechenden sequentiellen Gleichgewichten führt. Wir haben also ein Trenngleichgewicht gefunden: Starke Konkurrenten wählen das Signal E, schwache das Signal N.

Sollen beide Typen die gleichen Signale wählen, kommt offensichtlich nur N für ein Gleichgewicht in Betracht: Sollte der Konkurrent vom Typ ,,schwach” sein, wäre ein Eintreten nicht rational. Wir haben damit ein weiteres sequentielles Gleichgewicht gefunden, das einzig mögliche Pooling-Gleichgewicht. Dieses ist aber nur gültig (siehe oben), wenn Spieler 2 μs < 0,75 einschätzt, wenn Spieler 1 dem Markt beitritt. Ein starker Konkurrent hätte von einem Eintritt aber deutlich größeren Nutzen als ein schwacher. Dieses Gleichgewicht ist daher unplausibel. Da N für einen starken Konkurrenten von E dominiert wird, kann nach dem Dominanzkriterium dieses Gleichgewicht eliminiert werden.

Dieses Beispiel zeigt, dass der Konkurrent Vorteile erlangt, wenn er seine tatsächliche Stärke dem Monopolisten durch ein entsprechendes Signal mitteilt. Ein Tarnen der tatsächlichen Stärke bringt ihm jedoch keine Vorteile.


Quellen

  • Manfred J. Holler, Gerhard Illing: ,,Einführung in die Spieltheorie”
  • Siegfried K. Berninghaus, Karl-Martin Ehrhart, Werner Güth: ,,Strategische Spiele”
  • Anke Gerber: Vorlesungsskript zu ,,Informationsökonomik”, 2003
  • Projekt ,,Signalspiele” (2006)
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