Seltens Pferd

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Selten's Pferd (Selten's horse)

Einführung

Bei dynamischen Spielen mit unvollkommener Information reicht der Begriff "teilspielperfekt" oft nicht mehr aus, um Gleichgewichte mit unglaubwürdiger Drohung zu eliminieren. Daher wurde der Begriff der "sequentiellen Rationalität" formuliert. Häufig wird die Notwendigkeit dieses Begriffes anhand eines Beispiels von Selten, Selten's Pferd, plausibel gemacht.

Selten's Pferd

Es handelt es sich um ein extensives Spiel ohne vollkommene Information mit zwei Spielern, die die Möglichkeit haben, sich zwischen L, M und R bzw. l und r zu entscheiden. (Manchmal wird auch ein Spiel mit 3 Spielern als Seltens Pferd bezeichnet.)

Wir betrachten das Spiel G = (M;H; j; P; u) mit

  • der Spielermenge M = {1;2}
  • der Historie H = {(L);(M);(R);(M,l);(M,r);(L,l);(L,r)}, wobei E = {\emptyset;(L);(M)} die Entscheidungsmenge ist und die Endknoten  E:=H \setminus E seien,
  • der Spielerfunktion j:E \longrightarrow M mit j(\emptyset)=1 und j((L)) = j((M)) = 2,
  • der Informationszerlegung P = (P1,P2) mit P_1 =\{ \emptyset \}, P2 = {{(L),(M)}},
  • der Nutzenfunktion u=(u_1,u_2):Z \rightarrow {\mathbb R}^2 mit u((R)) = (1,3), u((L,l)) = (2,1), u((L,r)) = (0,0), u((M,l)) = (0,2) und u((M,r)) = (0,1).

Es ergibt sich also folgender Spielbaum:


                            1 ______________(1,3)
                          /   \      R  
                       L /     \ M
                        /       \ 
                       /         \ 
                      2-----------2
                     / \         / \
                   l/   \r     l/   \r
                   /     \     /     \
                 (2,1) (0,0) (0,2) (0,1)


Es ergeben sich die Nash-Gleichgewichte: (L,l) und (R,r), die beide offensichtlich teilspielperfekt sind. Das Gleichgewicht (R,r) ist aber nicht plausibel, da Spieler 2 in jedem Fall l wählen sollte, falls er an der Reihe ist, wenn er die Auszahlung maximieren möchte. Es ist aber nicht sequentiell rational unabhängig von der gewählten Einschätzung.


Historisches

Selten's Pferd geht auf Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Reinhard Selten zurück. Er lehrte Volkswirtschaftslehre in Berkley, Bielefeld und Bonn und erhielt 1994 den Nobelpreisträger in Wirtschaftswissenschaften für seinen Beitrag in der Spieltheorie zusammen mit John Harsanyi und John Forbes Nash jr.
1965 entwickelte Selten das Konzept des teilspielperfekten Gleichgewichts.

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