Quantenspiele

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Quantenspiele sind Spiele im Sinne der Spieltheorie, welche mit Quantenzuständen gespielt werden. Damit sind neue Entscheidungstrategien möglich, welche Vorteile gegenüber klassischen bieten. Eine Anwendung dieser Ergebnisse ist im Bereich der Quanteninformationstheorie und des Quantencomputers möglich. Desweiteren erlauben sie "Spiele gegen die Natur" auch mit den im atomaren Bereich gültigen Naturgesetzen.

Inhaltsverzeichnis


Einführung

Grundlagen der Quantenmechanik

Anmerkung: Die folgende Darstellung führt nur in die für das Verständnis von Quantenspielen notwendigen Begriffe und Konzepte ein. Für eine umfassendere und vor allem vollständige Einführung in die Quantenmechanik sei auf entsprechende Fachliteratur oder den Wikipedia-Artikel über Quantenmechanik verwiesen.

Die Quantenmechanik ist eine fundamentale Theorie, die physikalische Phänomene im atomaren und subatomaren Bereich beschreibt. Im Gegensatz zur klassischen Mechanik wird in der Quantenmechanik der Zustand eines Systems bzw. Teilchens nicht durch Angabe seines Ortes und seiner Geschwindigkeit (Impuls) beschrieben, sondern durch einen normierten Zustandsvektor \!\,\psi in einem komplexen Hilbertraum  \mathcal H. Dessen Basis wird von den möglichen Zuständen des Systems aufgespannt, wobei wir uns im folgenden auf endlichdimensionale Hilberträume beschränken. Durch die Vektorraumeigenschaften von \mathcal H ist eine lineare Superposition von Zuständen wieder ein Zustand.

Aus einem solchen Zustandsvektor sind die Eigenschaften des Systems (wie z. B. Ort, Impuls, etc.) jedoch nicht direkt ablesbar. Um diese ermitteln ("messen") zu können, bedarf es eines für diese Messung charakteristischen hermiteschen Operators, der Observable genannt wird. Nach der Messung befindet sich das System dann in einem Eigenzustand der Observable, wobei nicht vorhersagbar ist, in welchem. Mit der Born'schen Regel p(\psi \rightarrow \varphi) = |\varphi^* \psi|^2 (wobei \!\,\varphi^* den zu \!\,\varphi adjungierten Zustand bezeichnet) kann man aber die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass sich ein Zustand \!\,\psi nach einer Messung im Eigenzustand \!\,\varphi der Observable M befindet. Der Erwartungswert einer Messung bestimmt sich aus \!\,\psi^* M \psi. Nach der Messung ist der Zustand festgelegt, eine erneute Messung derselben Observablen liefert dann wieder das selbe Messergebnis. Veränderungen eines abgeschlossenen Systems, die nicht durch eine Messung entstehen, werden durch unitäre Operatoren dargestellt, z. B. den Zeitentwicklungsoperator.

Betrachtet man zwei Quantenzustände, so ist der Gesamt-Zustandsvektor Element des Hilbertraums \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 . Solche Zustandsvektoren müssen aber nicht notwendigerweise als Tensorprodukt zweier Vektoren der jeweiligen Hilberträume darstellbar sein. Man spricht dann in diesem Fall dann von verschränkten Zuständen (Bsp. s. u.): Wird einer der beiden Zustände verändert, hat das auch eine bestimmte Veränderung des anderen zufolge. Verblüffenderweise ist diese Eigenschaft unabhängig von der Entfernung der beiden Zustände.

Diese Erkenntnisse zeigen den grundlegenden Unterschied zur Klassischen Mechanik: Eine Messung ermittelt nicht mehr eine schon vorher feststehenden Information, sondern greift in das System ein und hat nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Ergebnis.

Beispiel für ein Quantensystem: "Quantenmünze"

Der Zustand einer "Quantenmünze" ist ein Vektor in einem  \mathbb{C} \otimes \mathbb{C} -Hilbertraum, für den wir die orthonormalen Zustandsvektoren \!\,k ("Kopf") und \!\,z ("Zahl") als Basis wählen. Eine mögliche Repräsentation als Spaltenvektoren wäre

k=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, z=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Eine Quantenmünze kann neben diesen beiden Basiszuständen auch noch normierte lineare Superpositionen dieser als Zustand haben, z. B.

\frac{1}{\sqrt 2}(k + z).

Veränderungen der Münze lassen sich als unitäre 2 \times 2-Matrizen U darstellen, welche (ggf. nacheinander) auf den Zustandsvektor der Münze angewendet werden: Uk=\tilde{k} bzw.  (U \circ U^\prime)k=\hat{k}. Die Unitarität (U − 1 = U * ) ist gefordert, damit die Normierung des Zustandes erhalten bleibt. Die Aktion "Münze umdrehen" kann zum Beispiel durch die unitäre Matrix

F=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

repräsentiert werden:

FA=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Der Gesamtzustand eines Systems aus zwei Münzen, die "Kopf" zeigen, wird geschrieben als  k \otimes k . Dieser Zustand ist nicht verschränkt, da er sich im Gegensatz zu z. B. v =\frac{1}{\sqrt{2}}(k \otimes z - z \otimes k) offensichtlich als Tensorprodukt zweier Quantenmünzen schreiben lässt.

Ein Münzspiel als Beispiel für ein Quantenspiel

Als einfaches Beispiel für ein Quantenspiel wird zunächst ein einfaches, klassischen Münzenspiel vorgestellt, dass dann zu einem Quantenspiel erweitert wird:

Klassisches Grundspiel

Zwischen zwei Spielern liegt ein Kasten, in den eine (klassische) Münze mit der Seite "Kopf" nach oben hineingelegt wird. Die Spieler können nacheinander die Münze im Kasten entweder umdrehen oder liegen lassen, ohne dass der Gegenspieler erkennen kann, welche Aktion durchgeführt wurde. Zuerst hat Spieler 1 die Gelegenheit die Münze umzudrehen, dann Spieler 2, dann wieder Spieler 1. Spieler 1 gewinnt, falls die Münze am Ende "Kopf" zeigt, sonst gewinnt Spieler 2. Offensichtlich ergibt sich in diesem extensiven Spiel ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien, bei dem jeder die Münze mit Wahrscheinlichkeit 50% umdreht. Dieses Spiel ist außerdem ein Beispiel für ein Spiel mit unvollkommener Information.

Dies lässt sich auch durch Matrizen und Vektoren ausdrücken: Den beiden Münzseiten ordnet man die Vektoren

k=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, z=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

zu, die Aktionen "Münze umdrehen" und "Münze liegenlassen" den Matrizen

F=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, E=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Wie oben bereits festgestellt wurde, gibt es nur ein Gleichgewicht in gemischten Strategien, also wenn sich beide Spieler jeweils mit Wahrscheinlichkeit p=\frac{1}{2} für F und mit Wahrscheinlichkeit (1-p)=\frac{1}{2} für E entscheiden. Dies lässt sich zusammenfassen in der Matrix

P=pF+(1-p)E=\begin{pmatrix} 1-p & p \\ p & 1-p \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} &  \frac{1}{2} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

Diese Matrix ist als Zug die beste Wahl für beide Spieler. Die Münze zeigt, wie sich leicht nachrechnen lässt, nach den drei Zügen des Spiels

(P_1 \circ P_2 \circ P_1)k=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}k + \frac{1}{2}z,

also in 50% der Spiele Kopf bzw. Zahl. Beide Spieler haben damit die gleiche Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen.

Erweiterung zum Quantenspiel

Nun wandeln wir das Spiel in ein Quantenspiel um, das heißt wir betrachten (unter Beibehaltung der Spielregeln) die Münze als einen Quantenzustand. Um die Mächtigkeit der Quantenstrategien zu verdeutlichen sollen Spieler 2 weiterhin nur die bereits genannten klassischen Züge erlaubt sein. Spieler 1 darf nun aber auch jede andere unitäre 2 \times 2-Matrix anwenden, um den Zustand der Münze zu verändern.

Geht er dabei geschickt vor, entscheidet er sich für

 Q=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Die Wirkung dieser Matrix ist dann im betrachteten Münzspiel:

(Q \circ P \circ Q)k= Ek = k.

Die Matrix Q bildet den Zustand k auf den Zustand \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ab, der gerade Eigenzustand von P ist, also unter der Wirkung von P nicht verändert wird. Da Q unitär (U − 1 = U * ) und zusätzlich U * = U gilt, ergibt das nochmalige Anwenden von Q wieder den ursprünglichen Zustand k. Damit wird der Zustand k auf sich selbst abgebildet, es folgt also, dass Spieler 1 immer gewinnt, egal was Spieler 2 macht.

Das Quanten-Gefangenendilemma

Spielablauf

Um das Gefangenendilemma in seiner Quantenversion spielen zu können, muss zunächst das klassische Gefangenendilemma mit normalen Münzen vorgestellt werden: Dabei erhält jeder der beiden Spieler eine Münze, die "Kopf" zeigt. Diese kann er, unbemerkt von seinem Gegner, umdrehen oder in diesem Zustand lassen. Er übergibt sie dann an einen Schiedsrichter, der beide Münzen dann auswertet: Zeigt eine Münze "Kopf", kooperiert der Spieler, zeigt sie "Zahl" defektiert er.

Dieses Spiel wird zu einem Quantenspiel, wenn man statt zweier normaler Münzen zwei verschränkte Quantenmünzen verwendet. Die beiden Spieler können dann auf ihre Quantenmünzen jeweils einen unitären Operator U1 bzw. U2 anwenden, um ihren Zustand zu verändern. Dabei sei ihre Wahl auf die folgenden zweiparametrigen unitären Matrizen beschränkt:

 U_j(\theta_j,\varphi_j) = \begin{pmatrix}
                 e^{i\varphi_j} \cos (\theta_j/2) & \sin (\theta_j/2) \\
		 -\sin (\theta_j/2) & e^{-i\varphi_j} \cos (\theta_j/2)
                 \end{pmatrix}.

Damit lassen sich auch Matrizen zum liegenlassen und umdrehen eine Quantenmünze definieren:

 C := U(0,0) = \begin{pmatrix}
                      1 & 0 \\
                      0 & 1
                      \end{pmatrix}, \quad
D := U(\pi,0) = \begin{pmatrix}
                 0 & 1 \\
		-1 & 0
                \end{pmatrix}

Der Zustand des Gesamtsystems unmittelbar vor der Messung durch den Schiedsrichter ist dann:

 J^\dagger (U_1 \otimes U_2) J \, (k \otimes k) =: f,

wobei J = \exp(\frac{i \pi}{4} D \otimes D ) ein verschränkender Operator ist, welcher symmetrisch auf beide Zustände wirkt und zu Beginn vom Schiedsrichter auf zwei "Kopf" zeigende Quantenmünzen angewandt wird.

Nach der oben gegebenen Einführung berechnet sich dann die Wahrscheinlichkeiten für eine der vier möglichen Messergebnisse nach der Born'schen Regel. So ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass beide Spieler kooperieren : p_{kk} = |(k^\dagger \otimes k^\dagger)\cdot f|^2. Dieser Ausdruck berechnet sich dann zu

|\cos(\varphi_1+\varphi_2) \cos (\theta_1/2)\cos (\theta_2/2)|^2.

Mit der Auszahlungsmatrix

1/2 C D
C (3,3) (0,5)
D (5,0) (1,1)

ergeben sich dann die Nutzenfunktionen der beiden Spieler:

u1 = 3pkk + 1pzz + 0pkz + 5pzk
u2 = 3pkk + 1pzz + 5pkz + 0pzk

Durch die genannte Einschränkungen auf zweiparametrige Matrizen hängen diese Nutzenfunktionen nur von den vier Parametern \theta_1, \varphi_1, \theta_2, \varphi_2 ab.

Neues Nash-Gleichgewicht

Im klassischen Gefangenendilemma ist bekannterweise die Strategie  D \otimes D das Nash-Gleichgewicht. In der Quantenversion beobachtet man jedoch, dass die Strategie D von der Strategie Q = U(0,\frac{\pi}{2}) dominiert wird. Einsetzen in die Nutzenfunktionen beider Spieler zeigt dann, dass Q auch die beste Antwort ist, wenn derjeweilige Gegner Q spielt. Daher ist im Quantengefangenendilemma Q \otimes Q das neue Nash-Gleichgewicht.

Dabei fällt eine Besonderheit auf: Für beide Spieler ist in diesem Fall die Auszahlung 3. Das heißt, das neue Nash-Gleichgewicht hat die selbe Auszahlung wie gegenseitiges Kooperieren. Damit ist das Gefangenendilemma kein Dilemma mehr.

Literatur

  • Meyer, David A.: Quantum Strategies, Phys. Rev. Lett 83 (1999), 1052.
  • Eisert, J., Wilkens, M., Lewenstein, M.: Quantum games and quantum strategies, Phys. Rev. Lett 83 (1999), 3077.
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