Populationsgenetik als evolutorisches Spiel in diskreter Zeit

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Inhaltsverzeichnis

Zielsetzung des Artikels

Die Populationsgenetik untersucht die zeitliche Veränderung der genetischen Zusammensetzung einer Population als Folge des Evolutionsprozesses. Typische Fragestellungen sind: Wie verändern sich die relativen Häufigkeiten gewisser Gene, welche Gene sterben aus, welche überleben?
Das Forschungsgebiet enstand in den Jahren nach 1920. Damals wurde die wiederentdeckte Mendelsche Genetik mit der Theorie der natürlichen Auslese von Darwn und Wallace zum sogenannten "Neodarwinismus", auch "Synthetische Theorie" genannt, verschmolzen.
Eine wesentliche Rolle spielte dabei der Statistiker Ronald Fisher, der unter anderem ein mathematisches Modell der Veränderung von Genfrequenzen formulierte, das man als Replikatorgleichung eines evolutorischen Spiels in diskreter Zeit interpretieren kann. Damit steht eine ganze Reihe von Struktursätzen, die in dem größeren Kontext bereits bewiesen sind, zur Verfügung und es ergibt sich ein neuer Blick auf die Biologie.
Der Artikel möchte dieses Spielzeugmodell vorstellen und lehnt sich dabei an die Darstellung in [Hofbauer] an. Am Beispiel der Schmetterlinge aus dem Buch [de Vries] wird die qualitative Veränderung der Systemdynamik studiert, wenn Modellparameter gewisse Schwellen überschreiten.

Gene und Allele

Wir beschränken uns auf diploide Organismen, in deren Zellkernen die Gene auf Paaren von homologen Chromsomen liegen. Je zwei Gene auf einander entsprechenden Positionen homologer Chromosomen bestimmen gemeinsam den Phänotyp, also die Ausprägung eines Merkmals. Die Gene wiederum können in verschiedenen Ausprägungen A1,...,AN auftreten, den Allelen. Ein Paar (Ai,Aj) von homologen Allelen, von denen das erste Ai vom Vater und das zweite Aj von der Mutter stammt, nennt man einen Genotyp. Wir nehmen an, dass die beiden Genotypen (Ai,Aj) und (Aj,Ai) den selben Phänotyp ergeben.
Einen Genotyp der Form (Ai,Aj) nennt man homozygotisch falls i=j, andernfalls heterozygotisch. Falls i/=j und (Ai,Ai)und (Ai,Aj) denselben Phänotyp erzeugen, heißt man Ai dominant und Aj rezessiv. Bei der Fortpflanzung werden haploide Keimzellen gebildet, die jeweils nur einen Chromosomensatz tragen. Dabei werden Abschnitte von einem Paar homologen Chromosomen zu einem neuen Chromosom rekombiniert und zudem können Mutationen auftreten. Wenn zwei Keimzellen miteinander verschmelzen, ergeben sich wieder diploide Zellen, die Zygoten.
Beispiel:Das Gen, das die Farbe der Flügel eines Schmetterlings festlegt, liege in den Typen A1 und A2 vor. Die Genotypen (A1,A1) und (A1,A2) führen zu Schmetterlingen mit weißer Flügelfarbe und die Kombination (A2,A2) zu solchen mit schwarzer. Dann gibt es zwei Phänotypen und das Allel A1 ist dominant. Es mag aber auch sein, dass der Genotyp (A1,A2) zu Schmetterlingen mit grauer Fügelfarbe führt. Dann gibt es drei Phänotypen.

Modellannahmen

  • Wir betrachten die Population nur zu diskreten Zeitpunkten t=0,1,2,...( Generationen)
  • und (zunächst) nur ein Gen, das in den n Allelen A1,...,An vorliege.
  • Es seien xj(t), 1≤j≤n, xi >= 0, \sum_{k=1}^n x_k= 1 die relative Häufigkeiten des Allels j in der Gesamtheit aller Allele der Population zur Zeit t,
  • x(t) = (x1(t),...,xn(t))T,
  • xij(t) der Anteil der Genpaare (Ai,Aj).
  • Die Partnerwahl erfolge zufällig,dh. wir vernachlässigen die sexuelle Evolution mit ihren Signalisierungspielen wie radschlagenden Pfauen und röhrenden Hirschen.

Im Zeitpunkt t:

  • wählen die Individuen ihre Partner zufällig. Daraus folgt
    xij(t) = xi(t)xj(t) für alle i, j und t.
  • Dann erfolge die Bildung der neuen Lebewesen, wobei wir Mutationen zunächst ausklammern.

Im Zeitintervall zwischen t und(t+1):
kämpfen die neuen Lebewesen um ihr Dasein. Es gebe eine exogen vorgegebene Wahrscheinlichkeit wij, den Selektionswert dafür, dass ein Lebewesen mit der Genkombination (Ai,Aj) bis zum Zeitpunkt (t+1) überlebt und dann Nachkommen hat. Die Matrix W = (wij) beschreibt also die Selektion. Da nach unseren Annahmen die Genotypen (Ai,Aj) und (Aj,Ai) den selben Phänotyp erzeugen und das Überleben vom Phänotyp abhängt, gilt

wij = wji,

die Matrix W ist also symmetrisch.

Die Replikatorgleichung und das Spielmodell

Zum Zeitpunkt t und noch vor der Fortpflanzung habe die relative Häufigkeit der Genpaare (Aij) den Wert xij(t). Es sei N die Anzahl der Zygoten der nun gebildeten neuen Generation. Davon tragen xij(t)N Individuen das Genpaar (Aij). Davon wiederum erreichen
wij xij(t) N = wij xi(t) xj(t) N

den Zeitpunkt (t+1) und sind fortpflanzungsfähig. Insgesamt überleben

\sum_{r,s=1}^n w_{rs}x_r(t)x_s(t)N = x^T(t) W x(t)

Zygoten. Damit beträgt die relative Häufigkeit xij(t + 1) der Genpaare (Aij) in der Generation (t+1)

x_{ij}(t+1)= \frac{w_{ij} x_{ij}(t)}{x^T(t)Wx(t)}.
Für die Genhäufigkeit xi(t+1) in der neuen Generation gilt deshalb
x_i(t+1)= x_i(t+1)\sum_{j=1}^nx_j(t+1) = \sum_{j=1}^n x_{ij}(t+1) = \frac{\sum_{j=1}^n w_{ij} x_i(t) x_j(t)}{x^TW x} =  \frac{x_i(t)\sum_{j=1}^n w_{ij} x_j(t)}{x^T W x}. Also
  x_i(t+1) = x_i(t)\frac{e^T_i W x(t)}{x(t)^T W x(t)}, i=1,...,n.
Gleichung (xy) ist aber nichts anderes als dieReplikatorgleichung für das folgende Spiel:

Wir betrachten als Population der Spieler nicht die Individuen, sondern die Gesamtheit ihrer Gene - den Genpool.
Dort wir das Basisspiel (M,S,u) gespielt mit

  • Spielermenge M = {1,2}. Je ein Gen vom Vater (Spieler 1) und der Mutter (Spieler 2) bilden einen Zygoten.
  • Strategieraum S = S1 X S2 mit S1 = S2 = {A1,...,An). Die Strategien sind die Allele.
  • Nutzenfunktion u = (u1,u2)T mit u1 = u2 und u1(Ak,Al) = wkl. Der Nutzen für Gen 1, das mit der Strategie Ak identisch ist, ist die Überlebenswahrscheinlichkeit wkl, wenn es sich mit einem Gen vom Typ Al paart.

Spielverlauf: Jedes Gen trägt seine Strategie vom Typ Ai und spielt immer Ai (bis es eventuell ausstirbt). Zum Zeitpunkt t ∈ N0 sei
x(t) = (x1(t),...,xn(t)T) die Verteilung der Anteile. In der Runde t werden die Spieler zufällig zu Spielerpaaren {Ai,...,Ak) gemischt und jedes Paar trägt ein Spiel mit sich aus. Die Ergebnisse werden ausgewertet (über die Nutzenfunktion) und der Anteil xi(t+1) ist proportional zu

  • dem Ausgangsanteil xi(t), und
  • der relativen Fitenss \frac{e^T_i W x(t)}{x^T W x}.

Der Ausdruck  e_i^T W x gibt die durchschnittliche Auszahlung für den Ai-Typ wieder, und v(x) := xTWx bezeichnet die durchschnittliche Auszahlung aller Einzelspiele (in der Runde t) und heißt auch mittlere Fitness der Population.


Der Fundamentalsatz der Natürlichen Selektion und das Hardy-Weinberg-Gesetz

Es sei Δn der n-dimensionale Simplex im  \mathbb{R}^n und die Abbildung f : Δn − > Δn definiert durch

f(x) := \frac{1}{x^T W x}(x_1 e_1^T W x,...,x_n e_n^T W x)^T.
Wir nehmen an, dass der Nenner niemals Null wird. Es sei ft die t-fach Iterierte von f. Die Folge (ft: t = 0,1,2,...) definiert ein diskretes dynamisches System auf Δn. Gegeben ein Anfangswert x(0), heißt die Folge
x(0), x(1) = f(x(0), x(2) = f2(x(0)),...,x(t) = ft(x(0)), ...

die Trajektorie von x(0). Ein Punkt x*Δn heißt Gleichgewicht oder Fixpunkt, wenn f(x*) = x*.
Es gilt nun der

Fundamentalsatz der Natürlichen Selektion:
Entlang jeder Trajektorie des dynamischen Systems x(t+1) = f(x(t)) wächst die mittlere Fitness \frac{e^T_i W x(t)}{x^T W x} monoton, v(x(t+1))≥v(x(t)), mit Gleichheit genau dann, wenn x Gleichgewicht.
Beweis:gilt allgemein für evoutorische Spiele. Siehe [Hofbauer].

Als Spezialfall der Replikatorgleichung erhalten wir die Mendelsche Genetik:

Satz (Hardy-Weinberg-Gesetz):
Falls keine Selektion stattfindet, also wij = 1 für alle 1 ≤i,j ≤n, gilt:

  • (a) Die Genfrequenzen bleiben von Generation zu Generation konstant, xi(t+1) = xi(t) für alle 1≤i≤n und t = 0,1,2,...
  • (b) Ab der ersten Tochtergeneration (t=1)sind die Anteile der homozygoten Genotypen (Ai,Ai) gegeben durch xi2 und der heterozygoten Genotypen (Ai,Aj), i ≠j, durch 2xixj.

Beweis:(a) durch Einsetzen von wij = 1 in die Replikatorgleichung, (2) trivial.
Beispiel für (b): Mendel kreuzte glatte mit runzeligen Erbsen. Die erste Generation bestand nur aus glatten Erbsen (dominantes Merkmal), in allen folgenden Generationen betrug das Verhältnis glatter zu runzeligen Erben 1 : 3.


Schmetterlinge: weisse, schwarze und graue. Bistabilät

Wir kommen wieder auf das Beispiel der Schmetterlinge mit den Genotypen (Ai,Aj), 1≤i,j≤2, und den zwei Phänotypen "weiße Flügel" und "schwarze Flügel" zurück und nehmen an, dass A1 dominiert. Wir schreiben die Genfrequenzen x als x = (p,1-p)T und die Matrix W der Selektionswerte als  \begin{pmatrix}
                        \alpha \alpha \\
                        \alpha \gamma
                        \end{pmatrix}
                    . Wegen der Dominanz von A1 ist w1,2 = w2,1 = w1,1 = α.
Die Replikatorgleichung definiert nun ein diskretes dynamisches System auf dem Einheitsintervall
f : [0,1] --> [0,1],
 p(t+1) = f(p(t)) = \frac{\alpha p(t)}{(\gamma - \alpha)p(t)^2-2(\gamma-\alpha)p(t)+ \gamma} .

Die Gleichgewichtsbedingung p* = f(p*) besitzt die beiden Lösungen p1* = 0 (alle A1-Allele sind ausgestorben, alle Schmetterlinge haben schwarze Flügel) und p2* = 1 (alle A2-Allele sind ausgestorben, alle Schmetterlinge haben weiße Flügel).
Stabilität:
Für die mittlere Fitness v ergibt sich durch Einsetzen v(p) = α p + (αp + γ(1-p))(1-p).
1.Fall:α<γ, dh. Schmetterlinge mit schwarzen Flügeln haben einen Selektionsvorteil.
Definiere L(p) = v(p) - γ. Dann gilt:

  • L(p) ≤ 0. Denn L(P)= αp + (αp + γ(1-p))(1-p) - γ ≤ γp + (γp + γ(1-p))(1-p) - γ=γp + γ(1-p) = 0.
  • Wegen des Fundamentalsatzes der Natürlichen Evolution gilt v(p(t+1)) ≥ v(p(t)) und damit L(p(t+1)) ≥ L(p(t)) entlang jeder Trajektorie (p(t))t.
  • Es ist L(p1*) = L(0) = γ-γ=0.

Damit ist L eine diskrete Lyapunov-Funktion und p1* = 0 ist global stabil in [0,1]; dh. für jeden jeden Anfangswert p0 gilt limt->inf = p1* = 0. Daraus folgt, dass p2* = 1 instabil ist. Alle A1-Allele und damit auch alle weißen Schmetterlinge sterben aus.
2.Fall:α>γ, dh. Schmetterlinge mit weißen Flügeln haben einen Selektionsvorteil.
Definiere L(p) = v(p) - α. Dann ist L eine diskrete Lyapunov-Funktion für p2* = 1 und p2* ist global stabil und damit p1* instabil. Für t->inf sterben alle Allele A2 und damit alle schwarzen Schmetterlinge aus.

Dazu wird häufig folgende Geschichte erzählt: vor der industriellen Revolution hatten Schmetterlinge einer gewissen Art, die sich in hellen Umgebungen aufhielten, weiße Flügel und waren für Vögel schlecht wahrzunehmen (α > γ). Mit zunehmender Industrialisierung färbte sich die Landschaft dunkel und die weißen Schmetterlinge wurden gefressen. Der Wert für α hatte also γ unterschritten und der Fixpunkt p1* = 0 seine Stabilität mit der von p2* = 1 ausgetauscht. Die weißen Schetterlinge wurden immer seltener und an ihre Stelle traten zunehmend schwarze. Als ab 1970 die Umweltschutzmaßnahmen zu wirken begann, kehrten ie weißen Schmetterlinge wieder zurück.
Nash-Gleichgewichte:


Erweiterung: Mutationen

Erweiterung: Rekombinationen

Literatur

  • Hofbauer and Sigmund
    Evolutionary Games and Population Dynamics
    Cambridge University Press 1998
  • Tatum
    Maths and Moths
    Π in the sky, September:5-9, 2003
  • de Vries, Hillen, Lewis, Müller, Schönfisch
    A Course in Mathematical Biology
    SIAM 2006
  • Wilson,Bossert
    Einführung in die Populationsbiologie
    Springer Heidelberger Taschenbücher 1973
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