Oligopole:Cournot-Duopol

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In diesem Artikel soll neben dem klassischen Cournot-Duopol (bzw. "Dyopol", wie viele Autoren schreiben) und -Oligopol vor allem das Cournot-Duopol im Falle unvollständiger Information behandelt werden.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Das Duopol nach Cournot (vgl. Cournot für biographische Informationen) beschreibt einen Markt mit einem homogenen Produkt und zwei Anbietern, bei dem der Wettbewerb über die Angebotsmengen ausgetragen wird, und bei dem die Entscheidungen für die Angebotsmengen simultan getroffen werden. Im Gegensatz dazu werden beim Duopol nach Stackelberg die Entscheidungen nacheinander getroffen. Beim Duopol nach Bertrand wird der Wettbewerb über die Preise ausgetragen.

Cournot Duopol bei vollständiger Information

Die Firma k produziert

s_k \in [0,R]

Einheiten des Produktes (mit einer großen Konstanten R > 0), und hat die Kosten

ck(sk) = cksk

mit positiven Konstanten ck ("Grenzkosten") für k = 1,2. Es wird davon ausgegangen, dass der Preis p (als die "inverse Nachfragefunktion") in folgender Weise linear von dem Gesamtangebot abhängt:

p(s1,s2) = Ps1s2

mit einer Konstanten P ("Höchstpreis), und das sich daraus die Nutzenfunktionen

uk(s1,s2) = (Ps1s2)skcksk

für k = 1,2 ergeben.

Es handelt sich insgesamt um ein Spiel in Normalform mit zwei Spielern und mit unendlichen Strategiemengen Sk = [0,R].

Ein Nash-Gleichgewicht ist ein Strategienpaar s* aus [0,R]x[0,R], so dass s*1 die Funktion

s_1 \mapsto (P - s_1 - s^*_2)s_1- c_1s_1

maximiert und s*2 die Funktion

s_2 \mapsto (P - {s^*_1} - s_2)s_2- c_2s_2

maximiert. Partielle Ableitung der ersten Funktion nach s1 ergibt die Bedingung

(P - s_1 - s^*_2) -s_1 - c_1 = 0

also

s^*_1 = {1 \over 2}(P - s^*_2 - c_1)

und analog

s^*_2 = {1 \over 2}(P - s^*_1 - c_2).

Das eindeutig bestimmte Nash-Gleichgewicht ist daher

s^* = {1 \over 3}(P + c_2 - 2c_1,P +c_1 - 2c_2),

denn es handelt sich bei diesen stationären Punkten tatsächlich um Maxima, weil die zweiten (partiellen) Ableitungen negativ (nämlich - 2) sind.
Der Preis ist

p(s^*_1,s^*_2) = {1 \over 3}(P + c_2 + c_1),

und die Auszahlungen sind

u_1(s^*_1,s^*_2) = {1 \over 9}(P + c_2 - 2c_1)^2
u_1(s^*_1,s^*_2) = {1 \over 9}(P + c_1 - 2c_2)^2.

Im Falle gleicher Grenzkosten c erhalten wir ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht

s^* = {1 \over 3}(P - c,P - c)

und die Auszahlung

u_k(s^*) = {1 \over 9}(P - c)^2.

Cournot Oligopol

Für jede der n Firmen k = 1,2, ... n hat man analog die Nutzenfunktion

uk(s1,s2,...,sn) = (Ps1s2 − ... − sn)skcksk

und daher für einen stationären Punkt die Bedingungen

(P - s_k - \sum_{l\neq k}s^*_l) -s_k - c_k = 0

Im Falle identischer Grenzkosten c ergibt sich das Nash-Gleichgewicht

s^*_k = {P-c \over{n+1}}

für alle k = 1,2, ... ,n.


Cournot-Nash-Gleichgewicht im Falle des Cournot-Duopols

Ein Cournot-Nash-Gleichgewicht (auch Cournot-Gleichgewicht) ist ein Gleichgewichtskonzept für Spiele mit stetigem Strategieraum bei unvollständiger Information. Als zusätzliche Bedingung für dieses Gleichgewicht ist von Nöten, dass man einen Markt mit mehreren Anbietern betrachtet, die sich ihrer wechselseitigen Beziehung bewusst sind (siehe Oligopol).

Das Cournot-Nash-Gleichgewicht ist dadurch charakterisiert, dass sich die Reaktionsfunktionen der beiden Spieler "schneiden". D.h.: Ein Gleichgewicht besteht dann, wenn die Abbildung r(x) (als Vektor der Reaktionsfunktionen r1(x2),r2(x1)) einen Fixpunkt x * = r(x * ) hat.

Diese Idee lässt sich gut an einem Beispiel für den Fall eines Duopols erklären.

Beispiel: Zwei Farmer i = 1,2 (Duopol) ernten auf ihrem Feld das gleiche, homogene Gut x. Die Arbeitskosten betragen K_i=x_i^2. Gesamternte ist beschränkt, also x_{i}\leq x_{i}^{max}. Der Marktpreis richtet sich nach Angebot und Nachfrage. Die Gesamtnachfrage beträgt x = 60 − 0,5p

Frage: Wieviel sollten die jeweiligen Farmer anbieten, ohne die Menge des Konkurrenten zu kennen? Der Gewinn Gi(xi,xi) = p(xi + xi) * xiK(xi) soll also maximiert werden.

Die Angebotsmenge ist des anderen Farmers ist nicht bekannt \Rightarrow Es müssen Annahmen über das Verhalten des Anderen getroffen werden. Also wird die Angebotsmenge des Konkurrenten xi als gegeben angenommen.

\Rightarrow Gi(xi,xi) wird maximiert mit \frac{\partial G_{i}(x_{i},x_{-i})}{\partial x_{i}}=0 Dies wird als Cournot-Verhalten bezeichnet.

Das Cournot-Gleichgewicht ist nun ein Produktionsvektor x * = ((x1) * ,(x2) * ), sodass x1 * = r1(x2 * ) und x2 * = r2(x1 * ).

Berechnung ergibt: G_i=[120-2(x_i+x_-i)]x_i-x_i^2 mit der Bedingung \frac{\partial G_{i}(x_{i},x_{-i})}{\partial x_{i}}=120-6x_i-2x_{-i}=0

Also ist die Reaktionsfunktion: x1 = 0 für x_{2}\geq60 und x_{1}=20-\frac{1}{3}x_{2} für x_{2}\leq60 und andersherum x2 = 0 für x_{1}\geq60 und x_{2}=20-\frac{1}{3}x_{1} für x_{1}\leq60

Der Schnittpunkt liegt bei x1 * = x2 * = 15 mit p * = 60

Cournot Duopol ohne vollständige Information

Bisher wurde unterstellt, dass die Firmen vollständige Information besitzen, und sich daher die Strategien aller Beteiligten ausrechnen lassen. Diese Annahme ist aber oft nicht realistisch, insbesondere gibt es über die jeweiligen Produktionskosten in der Regel nur unvollständige Kenntnisse.

Es wird jetzt angenommen, dass Firma k (k =1,2) ihre eigenen Grenzkosten kennt, aber nicht die des wirtschaftlichen Konkurrenten. Der Typ der Firma k wird parametrisiert durch

tk = Pck.

Die typabhängigene Nutzenfunktionen sind jetzt für k = 1,2

uk(s1,s2,t1,t2) = (Pcks1s2)sk = (tks1s2)sk = uk(s1,s2,tk).

Für jeden der zwei Firmen wollen wir uns auf je 2 Typen konzentrieren, zum einen auf einen Typ mit niedrigen Grenzkosten (N) und zum anderen auf einen Typ mit hohen Grenzkosten (H), also

H_k := P - c^H_k, N_k := P - c^N_k, \; c^H_k > c^N_k .

Zur Bestimmung eines Bayes-Gleichgewichts:
Die Einschätzung von 1, dass 2 vom Typ H_2 ist, sei p. Bei Vorgabe von

{s^*_2}(H_2), {s^*_2}(N_2), A \in \{H_1,N_1\}

müssen jetzt die beiden Funktionen

s_1 \mapsto pu_1(s_1,s^*_2(H_2),A) + (1-p)u_1(s_1,s^*_2(N_2),A) ,

also

s_1 \mapsto p(A - s_1 - s^*_2(H_2))s_1 + (1-p)(A - s_1 - s^*_2(N_2))s_1 ,

maximiert werden. Das liefert die Bedingungen

p(A - s_1 - s^*_2(H_2)) - p + (1-p)(A - s_1 - s^*_2(N_2)) -(1-p) = 0

also

2s_1 = A-ps^*_2(H_2)) - (1-p)s^*_2(N_2)) .

Analog schließen wir, wenn die Firma 2 den Typ der Firma 1 als H1 mit der Wahrscheinlichkeit q einschätzt: Die Vorgabe

{s^*_1}(H_1), {s^*_1}(N_1), A \in \{H_2,N_2\}

führt zu

2s_2 = A-qs^*_1(H_1)) - (1-q)s^*_1(N_1)).

Insgesamt gilt es also das folgende lineare Gleichungssystem mit nichtverschwindender Determinante zu lösen:

2s^*_1(H_1) + ps^*_2(H_2)) + (1-p)s^*_2(N_2) = H_1
2s^*_1(N_1) + ps^*_2(H_2)) + (1-p)s^*_2(N_2) = N_1
2s^*_2(H_2) + qs^*_1(H_1)) + (1-q)s^*_1(N_1) = H_2
2s^*_2(N_2) + qs^*_1(H_1)) + (1-q)s^*_1(N_1) = N_2
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