Oberst-Blotto-Spiele

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Eine Spielart, welche auf die Invarianz reduziert wird, ist das taktischen Militärspiel namens Blotto-Spiel, welche von Tukey[1](1949) eingeführt wurde.

Oberst Blotto hat 4 Regimente, mit welchen zwei Posten zu besetzen sind. Der berühmte Leutnant Kije hat 3 Regimente, welche die selben Posten besetzen sollen. Die Belohnung wird wie folgt definiert: Die Armee, die die meisten Einheiten zu jedem Posten sendet, besetzt es und alle von der anderen Seite gesandten Regimente bringen einen Punkt, zudem bringt der gewonnene Posten einen Punkt. Wenn die Spieler dieselbe Zahl von Regimenten zu einem Posten senden, ziehen sich alle zurück und es gibt keine Belohnung.

Aufgabe

Oberst Blotto muss entscheiden, wie er seine Kräfte zwischen den zwei Posten spaltet

Lösung

Es gibt 5 reine Strategien, welche er wählen kann: \ X=\{(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),(0,4)\}, wobei \ (n_{1}, n_{2})für die Strategie steht, \ n_{1} Einheiten an Posten 1 zu schicken und \ n_{2} Einheiten an Posten 2.

Lieutenant Kije hat 4 reine Strategien: \ Y = \{(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)\}.

Die Auszahlungsmatrix {\mathcal{M}} lautet also:


(3,0) (2,1) (1,2) (0,3)
(4,0) 4 2 1 0
(3,1) 1 3 0 -1
(2,2) -2 2 2 -2
(1,3) -1 0 3 1
(0,4) 0 1 2 4

Leider kann diese \ 4*5 Matrix nicht durch streichen dominierter Strategien verkleinert werden. Also müssen wir die Simplex-Methode benutzen. Aber es gibt eine Invariante, welches das Problem erheblich vereinfacht und die Symmetrie der beiden Posten voraussetzt. Dies führt zu Menge \mathcal{G}=\{e,g\}, mit

\ g((3, 0)) = (0, 3)

\ g((0, 3)) = (3, 0)

\ g((2, 1)) = (1, 2)

\ g((1, 2)) = (2, 1)

und der dazugehörenden Menge \overline{\mathcal{G}}= \{ \overline{e}, \overline{g}\} , mit

\ \overline{g}((4, 0)) = (0, 4)

\ \overline{g}((0, 4)) = (4, 0)

\ \overline{g}((3, 1)) = (1, 3)

\ \overline{g}((1, 3)) = (3, 1)  und

\ \overline{g}((2, 2)) = (2, 2)

Die Orbits für Kije sind \ \{(3, 0), (0, 3)\} und \ \{(2, 1), (1, 2)\}.

Deshalb ist eine Strategie \ \emph{q} invariant, wenn \ q((3, 0)) = q((0, 3)) und \ q((2, 1)) = q((1, 2)).

In gleicher Weise sind die Orbits von Blotto \ \{(4, 0), (0, 4)\}, \ \{(3, 1), (1, 3)\} und \  \{(2, 2)\} .

Also ist eine eine Strategie \ \emph{p} für Blotto invariant, wenn \ p((4, 0)) = p((0,
4)) und \ p((3, 1)) = p((1, 3)).

Wir können nun Kije´s Strategieraum auf zwei Elemente reduzieren:

\ \widehat{(3,0)}_{K}: benutzt \ (3, 0) und \ (0, 3) mit jeweils der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{2} .

\ \widehat{(2,1)}_{K}: benutzt \ (2, 1) und \ (1, 2) mit jeweils der Wahrscheinlichkeit \ \frac{1}{2}.

Genauso reduzieren wir den Strategieraum von Blotto auf drei Elemente:

\ \widehat{(4,0)}_{B}: benutzt \ (4, 0) und \ (0, 4) mit jeweils der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{2} .

\ \widehat{(3,1)_{B}}: benutzt \ (3, 1) und \ (1, 3) mit jeweils der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{2}

\ \widehat{(2,2)}_{B}: benutzt \ (2,2).

Mit diesen Strategieräumen ergibt sich folgende Auszahlungsmatrix \overline{\mathcal{M}}


\widehat{(3,0)_K} \widehat{(2,1)_K}
\widehat{(4,0)_B} 2 1.5
\widehat{(3,1)_B} 0 1.5
\widehat{(2,2)_B} 2 -2


Als erstes sehen wir, dass die mittlere Reihe von der Oberen dominiert wird (obwohl in der ursprünglichen Matrix keine Dominierung exisiterte).

Streichung der mittleren Reihe ergibt ein 2 * 2-Matrix-Spiel, dessen Lösung leicht gefunden werden kann.

Die gemischte Strategie (\frac{8}{9},0,\frac{1}{9}) mit dem Wert V=\frac{14}{9} ist optimal für Blotto und

Kije´s optimale Strategielautet (\frac{1}{9},\frac{8}{9}).

Kehren wir nun wieder zu \ {\mathcal{M}} zurück, sehen wir, dass (\frac{4}{9},0,\frac{1}{9},0,\frac{4}{9}) optimal für Blotto ist und (\frac{1}{18},\frac{4}{9},\frac{4}{9},\frac{1}{18}) für Kije. Der Wert \ V ist immernoch \frac{14}{9} (bzw. -\frac{14}{9} für Kije)

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