Natur

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Spiele gegen die Natur sind Normalformenspiele bzw. extensive Spiele gegen einen Gegner, dessen Auszahlung im Gegensatz zu der des Spielers unbekannt ist. Dieser Gegner wird "Natur" oder "Umwelt" genannt.

Inhaltsverzeichnis

Entscheidungskriterien

Um festzustellen, welche Strategie ausgewählt werden soll, gibt es unterschiedliche Kriterien, welche man mit Hilfe einer Bimatrix A = aij, welche die Auszahlungen für den Spieler enthält, überprüfen kann. Sie werden anhand folgendes Beispiels erklärt, wobei nj die Strategiemenge der Natur und si die Strategiemenge des Spielers darstellen:

n1 n2 n3
s1 12 7 10
s2 10 10 8
s3 14 9 3

Maximin-Kriterium

Das Maximin-Kriterium, auch Wald-Kriterium genannt, nimmt an, dass die Auszahlung der Natur gleich der negativen Auszahlung des Spielers ist (Nullsummenspiel). Der Spieler wählt nun diejenige Strategie, bei der seine schlechtestmögliche Auszahlung am größten ist, also

 s = \max_i \, \min_j \, a_{ij} .

In unserem Beispiel wird sich der Spieler demnach für s2 entscheiden, da 8 > 7 > 3.

Dieses Kriterium ist als sehr pessimistisch einzustufen. Es liefert ein sehr schlechtes Ergebnis für Spiele, bei denen einige Strategien gegenüber den Strategien der Natur stärker schwanken als andere:

n1 n2 n3
s1 30 30 8
s2 10 10 9
s3 20 20 7

Hier würde die Strategie s2 ausgewählt werden, obwohl die anderen in der Regel deutlich bessere Ergebnisse liefern.

Maximax-Kriterium

Dieses Kriterium hat die selbe Grundannahme des Maximin-Kriteriums. Der Spieler wählt aber jetzt die Strategie, bei der die bestmögliche Auszahlung maximal wird,also

 s = \max_i \, \max_j \, a_{ij} .

In unserem Beispiel würde sich der Spieler für s3 entscheiden, da 14 > 12 > 10.

Es handelt sich hierbei um ein sehr optimistisches Kriterium. Wie auch das Maximin-Kriterium führt eine stark heterogen Strategiemenge zu schlechten Ergebnissen.

Horwicz-Kriterium

Das Horwicz-Kriterium vereinigt das Maximin- und das Maximax-Kriterium, um so in den bereits genannten Problemsituationen ein besseres Ergebnis zu liefern. Hierzu wird ein sogenannter "Optimismus-Parameter" \alpha \in \mathbb{R}, 0 \leq \alpha \leq 1 eingeführt, wobei α mit steigendem Optimismus wächst. Man bestimmt nun für jede Strategie Maximum und Minimum und ermittelt daraus den Wert

 s'_i = \alpha (\max_j \, a_{ij}) + (1-\alpha) (\min_j \, a_{ij}) .

Schließlich wählt man diejenige Strategie aus, für die dieser Wert maximal wird:

 s = \max_i \, s'_i

Wir berechnen für α = 0,4 das Horwicz-Kriterium in unserem Beispiel:

s_1:\; 4,8 + 4,2 = 9,0; \quad s_2: \;4,0 + 4,8 = 8,8; \quad s_3: \;5,6 + 1,8 = 7,4

Nach dem Horwicz-Kriterium wird also s1 gewählt.

Savage-Kriterium

Bei diesem auch "Regel des kleinsten Schadens" genannten Kriterium wird zunächst untersucht, was für eine gegeben Strategie der Natur die bestmögliche Auszahlung ist. Für jede Strategie des Spielers trägt man nun in eine neue Matrix die Differenz zu dieser bestmöglichen Auszahlung für die jeweilige Naturstrategie ein. Man wählt dann diejenige Strategie, bei der der Maximale Schaden minimal ist. In unserem Beispiel ergibt sich diese neue Matrix zu:

n1 n2 n3
s1 2 3 0
s2 4 0 2
s3 0 1 7

Demnach wird Strategie s1 gewählt, da 3 < 4 < 7.

Laplace-Kriterium

Das Laplace-Kriterium geht davon aus, dass die Natur keine ihrer Strategien bevorzugt spielt, also die Strategien gleichverteilt sind. Um die für den Spieler bestmögliche Strategie zu ermitteln, berechnet man das arithmetische Mittel aller Auszahlungen einer Spieler-Strategie und wählt dann diejenige, die das arithmetische Mittel maximiert. Für das Beispiel berechnen sich diese zu:

s_1:\; 9 \frac{2}{3}, \quad s_2:\; 9 \frac{1}{3}, \quad s_3:\; 8 \frac{2}{3}

Die Entscheidung fällt demnach auf s1.

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