Kreditvergabe

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Inhaltsverzeichnis

Kreditvergabe

Das Spiel Kreditvergabe ist ein extensives Spiel mit asymmetrischer Information der einzelnen Spieler.

Spielbeschreibung

Eine Firma beantragt bei einer Bank (B) einen Kredit über 150, damit sie ein Investitionsprojekt finanzieren kann. Alles, was die Bank über die Firma weiß, ist, dass die Firma entweder das Projekt C als Investitionsmöglichkeit hat, oder das Projekt D. Hierbei liefert Projekt C mit Wahrscheinlichkeit 0,8 einen Payoff von 300, und mit Wahrscheinlichkeit 0,2 einen Payoff von Null. Projekt D liefert mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Payoff von 600, und mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Payoff von Null. Nun wissen jedoch nur die Firmeneigentümer über ihre Investitionsmöglichkeit Bescheid, dh. ob sie C oder D sind. Für die Bank ist dies nicht ersichtlich. Des weiteren besteht für die Firma die Möglichkeit, Eigenkapital von Firmeneigentümern aufzunehmen, die ebenfalls über die genaue Investitionsmöglichkeit Bescheid wissen. Für die Firma ist ein Steuersatz von 30 Prozent anwendbar. Zinszahlungen können von der Steuer abgeschrieben werden. Wegen der hoher Konkurrenz im Bankensektor soll die Bank B außerdem keinen Profit machen dürfen.

Spielverlauf

Als erstes zieht in diesem Spiel der Spieler "Natur" (N). N entscheidet, ob die Kreditbeantragende Firma C oder D ist. Als nächstes zieht nun Spieler "Bank" (B). B wählt aus der Menge aller möglichen Kreditverträge mit den Charakteristika E (Eigenanteil) und P (zurückzuzahlende Summe) zwei Verträge aus, die sie der Firma anbietet. Nun kann die Kreditnehmende Firma K sich für Vertrag eins oder zwei entscheiden, oder beide Verträge ablehnen, wodurch das Spiel beendet wird (mit Payoff Null für B und K). Als letztes ist wieder N am Zug, und entscheidet, welcher Umweltzustand des Projektes eintritt.

Modellierung des Spiels

G = (M,H,P,u) mit

  • der Spielermenge M = {N,B,K} mit K\in\{C,D\}
  • der Historie H= \{\emptyset\}

\cup\{(C), (D)\}

\cup\{(C,X), (D,X)\} mit X = ((P1,E1),(P2,E2)), (P_i,E_i)\in[0,\infty[\times[0,150[ i=1,2

\cup\{(C,X,1), (C,X,2), (C,X,Abl), (D,X,1), (D,X,2), (D,X,Abl)\}

\cup\{(C,X,1,G), (C,X,1,S), (C,X,2,G), (C,X,2,S), (D,X,1,g), (D,X,1,s), (D,X,2,g), (D,X,2,s)\}

  • der Nutzenfunktion u:

u\{(C,X,1,G)\}=(P_1-E_1^C,(300-P_1)*0,7-E_1)

u\{(C,X,1,S)\}=(-E_1^C,-E_1)

u\{(C,X,2,G)\}=(P_2-E_2^C,(300-P_2)*0,7-E_2)

u\{(C,X,2,S)\}=(-E_2^C,-E_2)

u\{(D,X,1,g)\}=(P_1-E_1^C,(600-P_1)*0,7-E_1)

u\{(D,X,1,s)\}=(-E_1^C,-E_1)

u\{(D,X,2,g)\}=(P_2-E_2^C,(600-P_2)*0,7-E_2)

u\{(D,X,2,s)\}=(-E_2^C,-E_2)


Grafische Darstellung

Lösung

Der Schlüssel zur Lösung dieses Spieles ist, das Eigenkapital als Signal zu benutzen. Der Grund hierfür besteht darin, dass die Eigenkapitalhinterlegung für denjenigen Kreditnehmer teurer ist, der das Projekt mit dem höheren Risiko besitzt, da die Wahrscheinlichkeit, dass er sein Eigenkapital verliert, für ihn höher ist. Dementsprechend wird die Bank zwei mögliche Kreditverträge anbieten:

  • 1.) Eigenkapital E aufbringen, 150-E leihen und P1 zurückzahlen
  • 2.) die vollständigen 150 leihen und P2 zurückzahlen

Angenommen, nur Firmen vom Typ D nehmen Vertrag Nummer 2. Dann müsste die Bank als Rückzahlungssumme P2 verlangen: P2 * 0,5 = 150, also P2 = 300

Angenommen, nur Firmen vom Typ C nehmen Vertrag Nummer 1. Dann müsste die Bank als Rückzahlungssumme P1 verlangen: P1 * 0,8 = 150 − E1, also P_1=\frac{150-E_1}{0,8}

Im nächsten Schritt muss nun nach dem Eigenkapital E1 aufgelöst werden. Dieses E1 muss nun derart sein, dass Firmen vom Typ D nicht den Vertrag 1 nehmen wollen. Für eine D Firma, die Vertrag 2 wählt, ergibt sich folgender Payoff nach Abzug der Steuern: (600 − 300) * 0,5 * 0,7 = 105

Für eine D Firma, die Vertrag 1 wählt, ergibt sich wiederum folgender Payoff: (600-\frac{150-E_1}{0,8})*0,5*0,7-E_1

Das Gleichsetzen dieses Payoffs mit 105 und Auflösen nach E1 ergibt E1 = 70. Nun bleibt noch zu zeigen, dass eine C Firma diesen Payoff des Vertrages 1 mit E1 = 70 auch wirklich dem Vertrag 2 vorzieht. Mit Vertrag 2 ergibt sich der Nutzen (300 − 300) * 0,8 * 0,7 = 0 im Vergleich zu (300 − 100) * 0,8 * 0,7 − 70 = 42 bei Vertrag Nummer 1.

Nash-Gleichgewicht

Die Strategiekombination s^{\star}=(X,1,2) mit X = ((P1,E1),(P2,E2)) = ((100,70),(300,0)) und "`Firma C nimmt Vertrag 1"' und "`Firma D nimmt Vertrag 2"' ist ein Nash-Gleichgewicht. Dies gilt, da die Bank unter der Bedingung, dass sie auf Grund der hohen Konkurrenz im Markt keinen Gewinn machen darf, mit einem Payoff von Null ihren Nutzen maximiert. Außerdem gilt für Firma C, dass sie nicht von Vertrag 1 abweichen will, und für Firma D, dass sie nicht von Vertrag 2 abweichen will.

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