Kampf der Geschlechter / Battle of the sexes

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1. Motivation

Das Spiel "Kampf der Geschlechter", auf englisch unter dem Titel "Battle of the sexes" bekannt, modelliert einen Konflikt aus dem Alltag eines Paares, welcher mit Hilfe der Spieltheorie gelöst wird. Zudem dient dieses Spiel häufig als anschauliches Beispiel zur Einführung in die Theorie der gemischten Strategien.



2. Inhalt

Es geht darum, daß zwei Spieler, ein Mann und eine Frau ihren Abend gemeinsam verbringen wollen, aber vergessen sich über den Ort zu einigen. Zur Auswahl steht ein Fußballspiel und ein Konzert. Der Mann zieht das Fußballspiel, die Frau das Konzert vor. Die Hauptsache ist aber, daß sich beide treffen.

Folgende Matrix beschreibt die "Auszahlungsfunktion".

Frau
Fußball Konzert
Mann Fußball 3,1 0,0
Konzert 0,0 1,3

In reinen Strategien, gibt es zwei Nash-Gleichgewichte: Wählt die Frau das Fußballspiel, sollte der Mann dies auch tun, und umgekehrt. Ebenso verhält es sich bei dem Konzert.

Problematisch ist nun das Fehlen einer dominanten Strategie. Entscheidet sich jeder für seine Präferenz, kommt es zu keinem Treffen, ebenso, wenn sich jeder für die Präferenz des anderen entscheidet. Die Lösung dieses Dilemmas liegt in einem Gleichgewicht in gemischten Strategien.


3. Lösung des Dilemmas

3.1 Notation

FB = Fußball und K = Konzert

M = Mann und F = Frau

p bzw. q = Wahrscheinlichkeit, daß der Mann bzw. die Frau Fußball wählt

Gemischte Strategie der Frau:σF(q) = qFB + (1 − q)K

Gemischte Strategie des Mannes:σM(p) = pFB + (1 − p)K


3.2 Bestimmung des gemischten Gleichgewichtes I


3.2.1 Berechnungen aus der Sicht des Mannes


uMM(p),σF(q)) =

uM(pFB + (1 − p)K,qFB + (1 − q)K) =

pquM(FB,FB) + p(1 − q)uM(FB,K) + q(1 − p)uM(K,FB) + (1 − p)(1 − q)uM(K,K) =

3pq + 0p(1-q) + 0q(1-p) + 1(1-p)(1-q) =

3pq + 1 - q - p + pq =

4pq - p - q + 1

Was ist die beste Antwort auf σF(q)?

duM/dp = 4q - 1

4q - 1 = 0 <=> q = 1/4 => uMM(p),σF(q)) = 3 / 4

Wenn die Frau mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 Fußball wählt, kann der Mann sein p beliebig in [0, 1] wählen, sonst gilt:

Die beste Antwort °p auf q ist definiert als:

4°pq - °p - q + 1 >= 4pq - p - q + 1 für alle p <=> °p(4q - 1) >= p(4q - 1)

Wählt die Frau q < 1/4 => Mann setzt sein °p = 0

Wählt die Frau q > 1/4 => Mann setzt sein °p = 1


3.2.2 Berechnungen aus der Sicht der Frau

uFM(p),σF(q)) =

uF(pFB + (1 − p)K,qFB + (1 − q)K) =

pquF(FB,FB) + p(1 − q)uF(FB,K) + q(1 − p)uF(K,FB) + (1 − p)(1 − q)uF(K,K) =

1pq + 0p(1-q) + 0q(1-p) + 3(1-p)(1-q) =

1pq + 3(1-p)(1-q) =

4pq - 3p - 3q + 3

Was ist die beste Antwort auf σM(p)?

duF/dq = 4p - 3

4p - 3 = 0 <=> p = 3/4 => uFM(p),σF(q)) = 3 / 4

Wenn der Mann mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/4 Fußball wählt, kann die Frau ihr q beliebig in [0, 1] wählen, sonst gilt:

Die beste Antwort °q auf p ist definiert als:

4p°q - 3p - 3°q + 3 >= 4pq - 3p - 3q + 3 für alle q <=> °q(4p - 3) >= q(4p - 3)

Wählt der Mann p < 3/4 => Frau setzt ihr °q = 0

Wählt der Mann p > 3/4 => Frau setzt ihr °q = 1

Es ergibt sich somit ein Nash-Gleichgewicht bei p = 3/4 = (1-q). Somit sollten die beiden mit jeweils 25% den Lieblingsort des anderen aufsuchen.


3.3 Bestimmung des gemischten Gleichgewichtes II

Ein Ergebnis aus 3.2 ist:

Wenn die Frau mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 Fußball wählt, kann der Mann sein p beliebig in [0, 1] wählen. Wenn der Mann mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/4 Fußball wählt, kann die Frau ihr q beliebig in [0, 1] wählen.

Daraus lassen sich folgende Gleichungen aufstellen:

4*1q - 1 - q + 1 = 4*0q - 0 - q + 1 (Mann kann sein p beliebig in [0, 1] wählen)

4*1p - 3p - 3*1 + 3 = 4*0p - 3p - 3*0 + 3 (Frau kann ihr q beliebig in [0, 1] wählen)


woraus durch Rechnung ebenfalls folgt: p = 0,75 und q = 0,25


4. Bemerkungen

Der Satz von Nash sagt aus, daß es in endlichen Normalformenspielen immer ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien gibt. Folglich ist ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien immer ein Spezialfall von einer gemischten Strategie. Hier ist dies bei p = q = 1 und p = q = 0 der Fall. Dies sind die Nash-Gleichgewichte aus 2., nämlich (Fußball , Fußball) und (Konzert , Konzert).


(Quelle: Wikipedia.de)

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