Fixpunktsatz von Kakutani

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Definition: Seien M Rm,   N Rn. Unter einer Korrespondenz f:  M N versteht man eine Abbildung von
M P(N). Die Korrespondenz f:  M N heißt abgeschlossen, falls für je zwei konvergente Folgen xk x in M, yk y in N ( k ) mit yk f(xk) ( k N ) gilt:
y f(x)



Satz: (Fixpunktsatz von Kakutani, 1941) Sei Ø C Rn kompakt und konvex. Die Korrespondenz f: C C sei abgeschlossen, und für alle x C sei Ø f(x) konvex. Dann hat f einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein ε C mit
ε f(ε)

(Siehe auch den Artikel in Wikipedia)

Beweis: Man konstruiert zunächst eine approximierende Abbildung gε: C C mit ε > 0. Dazu überdeckt man C j Bε(xj) und betrachtet eíne untergeordnete Teilung der Eins:

          ψj: C [0,1] stetig,
          ψj = 0, falls x Bε(xj),
          ∀ x C ist Σjψj(x) = 1.

Für j = 1,...,N wählt man yj f(xj) C und definiert: gε: C C, gε(x) := Σj ψj(x) yj. Nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz hat jedes solche gε einen Fixpunkt, d.h.: ξε: ξε = gεε). Für eine geeignete Folge ε0 liefert die Kompaktheit von C: ξ C: ξ ξ für ε 0. Im folgendem wird gezeigt, das ξ f(ξ), d.h. ξ ist bereits der gesuchte Fixpunkt. Dazu sei Vρ = ∪y∈f(ξ) Bρ(y) die ρ-Umgebung von f(ξ) bei zunächst festgehaltenen ρ > 0.


Korollar 1: Es gibt ein δ > 0 so, dass für alle x C mit | x - ε | < δ gilt:           f(x) Vp


Beweis: Annahme: Die Aussage im Korollar wäre falsch. Dann hätte man Folgen xk C, xkξ, yk f(xk) C, yk Vp. Da C kompakt ist, kann man nach Auswahl einer Teilfolge yk y annehmen, y Vp f(ξ) im Widerspruch zur Abgeschlossenheit von f.

Im folgendem betrachtet man nun ein hinreichend kleines ε > 0, so dass ε < δ ist.


Korollar 2: Für x C mit | x - ε | < δ - ε gilt:         gε(x) Vp.


Beweis: Nach Definition gilt:
g_{\epsilon}(x) =\sum_{j=1}^{n}\psi_{j}(x)y_{j}=\sum_{(j: |x-x_{j}|<\epsilon)}\psi_{j}(x)y_{j}

Für xj mit | x - xj | < ε ist | ξ - xj | + | x - xj | < δ - ε + ε = δ, d.h. yj f(xj) Vp nach Korollar 1. Da f(ξ) und damit Vp konvex ist, folgt schließlich gε Vp.

Mithilfe der beiden Korollare folgt nun: Für ε0 gilt (δ - ε)δ und | ξε - ξ |0, also: ξε = gεε) Vp Vp Vp und somit ξ Vp Vp. Durch ρ0 erhält man dann ξ ρ > 0 (Vp Vp) = f(ξ) f(ξ) = f(ξ), denn f ist abgeschlossen.
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