Einsatzspiel

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Formulierung des Spiels

In diesem Spiel werden die Mitspieler darum gebeten, zwischen 0€ und 1000€ in einen gemeinsamen Topf einzuzahlen. Danach wurde die Summe in dem Topf vervierfacht und zu gleichen Teilen an alle Spieler ausgezahlt.

Formal:

  • M = {1,..,N}, N = 8, die Menge der Spieler. Alle Spieler haben die identische Strategiemenge Si = {0,..,1000}. Somit ist der Strategieraum
    S := \prod_{i \in M} S_{i}

    Alle Spieler haben eine identische Nutzenfunktion

    u_{i}(s_{1},..,s_{N}):= \frac{1}{2}\sum^{N}_{j = 1 ; j \neq i}s_{j}-\frac{1}{2}s_{i}

    Wie aber sollten sich die Spieler verhalten? Was wäre eine sinnvolle Strategie für sie?

    Da die Spieler nicht wissen, wie sich die anderen Spieler verhalten werden, ist das einzige was sie beeinflussen können ihr eigener Einsatz. Aus der Auszahlungsfunktion ui ist leicht zu ersehen, dass die Spieler somit nichts setzen sollten um ihre Auszahlungen zu maximieren.

    Dies folgt aus der Tatsache, dass jede Strategie si != 0 durch die Strategie 0, d.h. nichts setzen, strikt dominiert wird.

    Beweis:
    \tilde{s}_{i}, s_{i} \in {0,..,1000}. o.B.d.A sei \tilde{s}_{i} < s_{i} , s_{i} > 0 Dann existiert zu jeder Strategie si > 0 eine strikt dominierende Strategie s~i. Dennu_{i}(\tilde{s}_{i}, s_{-i}) = \frac{1}{2}\sum^{N}_{j = 1 ; j \neq i}s_{j}-\frac{1}{2}\tilde{s_{i}} > \frac{1}{2}\sum^{N}_{j = 1 ; j \neq i}s_{j}-\frac{1}{2}s_{i} = u_{i}(s_{i}, s_{-i})
    Aus der strikten Dominanz folgt, dass dieses Nash-GG auch das einzige Nash-GG ist..


    Varianten

    modifiziertes Einsatzspiel

    Die Strategiemengen der Spieler wird modifiziert auf: Si=]0,1000]=I.

    Dann existiert kein Nash-GG mehr, denn sei o.E. i=1 und s_{-1} \in I^{N}=S_{2}\times ...\times S_{N} mit s − 1 = (ε2,..,εN),εj > 0. Dann ist kein s1 beste Antwort auf s-1, da u_{1}(s_{1},s_{-1})=\frac{1}{2}\sum_{j=2}^{N} \epsilon_{j}-\frac{1}{2}s_{1} < u_{1}(s'_{1},s_{-1}) mit s'_{1}=\frac{1}{2} s_{1}. Somit ist b_{i}(s_{-i})=\empty und es kann kein Nash-GG mehr existieren.

    Berücksichtigung des durchschnittlichen Einsatzes

    Diejenigen Spieler welche "unterdurchschnittlich" einsetzen erhalten keine Auszahlung. Konkret:
    Sei d_i : ([0,1000] \cap \mathbb{N})^8 \rightarrow \mathbb{R}, (e_1,...,e_8) \mapsto \frac{e_1+\cdots+  \not{e_i} + \cdots +e_8}{7}
die Durchschnittsfunktion,

    g_i : ([0,1000] \cap \mathbb{N})^8 \rightarrow \{0,1\},
(e_1,...,e_8) \mapsto \begin{cases} 0 & \mbox{falls }e_i < d_i(e) \\ 1 & \mbox{falls }e_i \geq d_i(e) \end{cases} die Bewertungsfunktion.
    Damit erhalten wir folgende Nutzenfunktionen:
    u_i : ([0,1000] \cap \mathbb{N})^8 \rightarrow \mathbb{R}, (e_1,...,e_8) \mapsto g_i(e) \cdot \left(\sum_{i=1}^{8} e_i\right) \cdot \left(\frac{4}{\sum_{i=1}^{8} g_i(e)}\right) - e_i
    Dies bedeutet: das gesamte eingesetze Geld wird nur unter denjenigen Spielern verteilt (vorher natürlich immer noch vervierfacht), welche mindestens soviel geboten haben, wie der Durchschnitt des Einsatzes ihrer Gegner. Klingt vielleicht etwas kompliziert, doch ein Beispiel wird Klarheit schaffen:
    Sei e = (0,1000,500,500,200,300,500,1000). Dann ist d = (d1(e),...,d8(e)) = (571.43,428.57,500,500,542.8,528.57,500,428.57) und folglich ist g = (g1(e),...,g8(e)) = (0,1,1,1,0,0,1,1) und damit gilt:
    u = (u1,...,u8) = (0,2200,2700,2700, − 200, − 300,2700,2200)

    Behauptung: (1000,...,1000) ist ein Nash-Gleichgewicht (sogar das Einzige).

    Beweis:
    Betrachten wir Spieler i, offensichtlich ist der Durchschnitt aller anderen Spieler = 1000. Also hat Spieler i "Glück": er hat nicht zuwenig geboten und u_i(1000,...,1000) = 3000. Es gilt nun aber: hätte Spieler i irgendetwas anderes geboten, sagen wir x Euro, 0 <= x < 1000, dann wäre u_i(1000,...,x,...,1000) = -x < 3000. Da Spieler i beliebig war, folgt die Behauptung.

    Ausblick:
    Weitere Modifikationen: "Toleranzfaktor" einführen, um Spieler nicht zu bestrafen, die nur "knapp" unter dem Durchschnitt geboten haben.


    Bemerkung

    Das beschriebene Verhalten ist in der Realität nur bedingt zu beobachten. Viel hängt vom gegenseitigen Vertrauen der Spieler ab und ob eine Strafmöglichkeit besteht.

    Zu den empirischen Beobachtungen der Spieltheorie wird aber noch ein eigener Artikel geplant.
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