Duellspiele

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Ein Duellspiel ist ein bekanntes Beispiel für Zeitspiele, die zur Klasse der Spiele auf dem Einheitsquadrat gehören. Diese zählt man wiederum zu den unendlichen Spielen. In einem Duellspiel wird nun ein Zweikampf mit einer Pistole betrachtet.


Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Kern

Ein wichtiger Typ unendlicher Spiele ist der, bei dem beide Spieler ein Kontinuum von reinen Strategien besitzen, die gewöhnlich als Punkte im Intervall [0,1] dargestellt werden. Eine reine Strategie eines Spielers ist also eine reelle Zahl auf diesem Intervall. Die Auszahlung ist eine auf dem Einheitsquadrat [0,1] x [0,1] definierte reellwertige Funktion A(x,y). In der Menge der Spiele über dem Einheitsquadrat untersucht man zunächst die Spiele mit stetiger Auszahlungsfunktion A(x,y). A(x,y) wird auch als Kern des Spiels bezeichnet.

Sattelpunkt

Es existiert ein Sattelpunkt, wenn es ein Element aij gibt, das sowohl maximal in seiner Spalte als auch minimal in seiner Zeile ist.


Das Duellspiel mit hörbarem Schuss

Ausgangssituation

Es wird folgender Zweikampf betrachtet: Zwei Männer beginnen an verschiedenen Orten zum Zeitpunkt t = 0, laufen aufeinander zu und treffen sich im Zeitpunkt t = 1. Beide Männer haben jeweils eine Pistole mit genau einem Schuss und können diesen irgendwann abfeuern. Wenn ein Mann den anderen trifft, dann ist das Duell sofort beendet und der Schütze ist der Sieger. Wenn keiner der beiden trifft, oder beide gleichzeitig schießen und treffen, so ist das Duell unentschieden.

Annahmen

Es gelten folgende Annahmen:

1. Die Genauigkeit eines Schusses nimmt zu, wenn sich beide Spieler einander nähern und zwar so, dass ein Spieler seinen Gegner mit der Wahrscheinlichkeit t trifft, falls er zum Zeitpunkt t schießt.

2. Das Duell verläuft völlig lautlos, d.h. der Spieler weiß nicht, ob sein Gegenüber bereits geschossen hat, es sei denn, dieser hat bereits getroffen.

Berechnung des Kerns des Spiels

Wenn sich Spieler I bzw. Spieler II für die Zeitpunkte x bzw. y mit x<y entscheiden, so trifft I mit Wahrscheinlichkeit x. Falls er trifft erhält er die Auszahlung +1. Mit der Wahrscheinlichkeit 1-x verfehlt er und mit der Wahrscheinlichkeit y wird er selbst getroffen. In diesem Fall ergibt sich für ihn die Auszahlung -1. Damit erhält man:

K (x,y) = x – y + xy .

Da das Spiel offenbar symmetrisch ist, ergibt sich analog

L (x,y) = x – y - xy

und weiter φ(x) = 0.


Damit erhält man

K2 (x,y) = -1+x

L2 (x,y) = -1-x

L (y,y) – K (y,y) = -2 y2.


Weiter wird angenommen, dass die optimale Strategie eine stetige Verteilungsfunktion F mit positiver Ableitung im Intervall (a,b) ist. Damit ergibt sich:

-2y2 F‘(y) = \int\limits_a^y (-1+x) + F‘ (x) dx +  \int\limits_y^b (-1-x) + F‘ (x) dx .

Indem man beide Seiten differenziert, kann diese Integralgleichung in eine Differentialgleichung umgewandelt werden. So erhält man:

-4y F‘ – 2 y2 F‘‘ = (y-1) F‘ + (y+1) F‘ ,

was man vereinfachen kann zu

yF‘‘ = -3F‘ .

Diese Gleichung hat die Lösung

F‘(y) = k y − 3 .

Nun muss man a , b und k bestimmen. Zuerst wird der Fall b<1 untersucht. Es gilt für alle y aus (a,b) :

E(F,y) = 0 .

Weil E(F,y) bzgl. y stetig ist, ergibt sich:

E(F,b) = 0 .

Daraus folgt


\int\limits_a^b (x – b + bx) dF(x) = 0 .

Dies bedeutet mit der Annahme “b<1”:


\int\limits_a^b (x – 1 + x) dF(x) < 0 .


Damit folgt E(F,1) < 0 , was ein Widerspruch dazu ist, dass in Zeitspielen für alle y stets E(F,y) größer oder gleich 0 ist.

Folglich muss gelten:

b = 1

Damit ergibt sich notwendig E(F,1) = 0 , woraus die Gleichung

k  \int\limits_a^1 (2x – 1) / x3 dx = 0


folgt. Damit ergibt sich jedoch

3 a2 – 4a + 1 = 0 .


Die Gleichung besitzt die zwei Lösungen a = 1 und a = 1/3 . Offensichtlich ist a = 1 nicht möglich. Also muss gelten:

a = 1/3

Weil F eine Strategie ist, ergibt sich


\int\limits_{1/3}^1 k x − 3 = 1 ,

was zu

k = 1/4

führt.


Bestimmung der optimalen Strategie

Somit kann man die optimale Strategie beider Spieler angeben. Diese ist eine stetige Verteilungsfunktion F mit folgender Eigenschaft:

F‘ (x) = 0 für x < 1/3

F‘ (x) = 1 / (4 x3 ) für x > 1/3 .

Es ist weiter leicht zu sehen, dass man hiermit die Lösung gefunden hat.


Das Duellspiel mit nicht hörbarem Schuss

Ausgangssituation

Es wird folgender Zweikampf betrachtet: Zwei Männer beginnen an verschiedenen Orten zum Zeitpunkt t = 0, laufen aufeinander zu und treffen sich im Zeitpunkt t = 1. Beide Männer haben jeweils eine Pistole mit genau einem Schuss und können diesen irgendwann abfeuern. Wenn ein Mann den anderen trifft, dann ist das Duell sofort beendet und der Schütze ist der Sieger. Wenn keiner der beiden trifft, oder beide gleichzeitig schießen und treffen, so ist das Duell unentschieden.


Annahmen

Es gelten folgende Annahmen:

1. Die Genauigkeit eines Schusses nimmt zu, wenn sich beide Spieler einander nähern und zwar so, dass ein Spieler seinen Gegner mit der Wahrscheinlichkeit t trifft, falls er zum Zeitpunkt t schießt.

2. Diesmal wird nicht lautlos geschossen, d.h. ein Spieler bemerkt es, wenn sein Gegenüber schießt und verfehlt.

Berechnung des Kerns des Spiels

In diesem Fall wird der Spieler natürlich bis zum Zeitpunkt t = 1 mit seinem Schuss, da er dann mit Sicherheit treffen wird. Folglich hat Spieler I die Gewinnwahrscheinlichkeit x und die Verlustwahrscheinlichkeit 1-x, falls er sich für den Zeitpunkt x entscheidet und II, falls er den Zeitpunkt y mit x < y wählt. Folglich ergibt sich:

K (x,y) = 2x – 1

L (x,y) = 1 - 2y

φ(x) = 0


Man kann den selben Lösungsweg wie im lautlosen Fall wählen. Jedoch erkennt man, dass dieses Spiel einen Sattelpunkt mit zugehöriger reiner Strategie hat. Denn es gilt:

A (1/2 , y) = L (x,y) = 1 – 2y > 0 für y < ½

A (1/2 , y) = φ(1 / 2) = 0 für y = ½

A (1/2 , y) = K (1/2 , y) = 0 für y > 1/2


Bestimmung der optimalen Strategie

Damit ist 1/2 eine optimale reine Strategie.

Ausblick: Das Triell als Weiterführung des Duells

An dieser Stelle überlegt man sich, was passiert, wenn drei auf einander zulaufen.Siehe dazu Triell Spiel.

Links

Quelle

G. Owen, Spieltheorie, ISBN 3-540-05498-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, Seiten 88-91

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