Dynamisches System

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Unter einem dynamischen System versteht man im Rahmen der Differentialrechnung im allgemeinen eine autonome Differentialgleichung

x′ = F(x),

wobei F ein differenzierbares Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit X ist und x′ = d/dt x. (In Verallgemeinerung dazu gibt es die stochastischen dynamischen Systeme.)
Im speziellen Fall einer offenen Menge X im Rm bedeutet das die Vorgabe einer stetig differenzierbaren Abbildung F: X → Rm, zu der als Lösungen der Differentialgleichung x′ = F(x) die differenzierbaren

x: ]t0,t1[ → X

mit x′(t) = F(x(t)) für alle t ∈ ]t0,t1[ gesucht sind.

Beispiele:

  • x′ = x hat u.a. die Lösung x(t) = et, t ∈ R, mit x(0) = 1.
  • x′ = x2 hat u.a. die Lösung x(t) = (1-t)-1, t ∈ ]-1,1[, mit x(0) = 1.
  • x′ = Ax mit einer m x m - Matrix A ist ein lineares System von Differentialgleichungen und hat zu b ∈ Rm die Lösung x(t) = exp(At)b, t ∈ R, mit x(0) = b.

Der Standardfall eines autonomen Systems ist keinesfalls "explizit" lösbar, wie es den Anschein geben mag angesichts der Beispiele. Stattdessen werden einerseits numerische Methoden benutzt, um Differentialgleichungen näherungsweise zu lösen, oder es wird andererseits der Verlauf von Lösungen und Lösungsscharen abstrakt untersucht und beschrieben.

Inhaltsverzeichnis

Existenz und Eindeutigkeit

Von fundamentaler Bedeutung ist der folgende Existenz- und Eindeutigkeitssatz.

Satz: Sei F: X → Rm eine stetig differenzierbare Abbildung und sei a ∈ X.
Existenz: Es gibt ein offenes Intervall I um 0 und ein differenzierbares x: I → X mit x(0) = a und x′(t) = F(x(t)) für alle t ∈ I (d.h. x löst das lokale Anfangswertproblem x′ = F(x), x(0) = a).
Eindeutigkeit: Ist y : J → X eine weitere Lösung (also y′ = F(y), y(0) = a), so gilt x(t) = y(t) für alle t ∈ I ∩ J.
Der lokale Fluss: Das Intervall I kann so gewählt werden, dass für eine offene Umgebung U von a, U ⊂ X, eine differenzierbare Abbildung φ : I x U → X (Lösungsschar) existiert mit:

d/dt φ (t,b) = F(φ(t,b)) , φ(0,b) = b

für alle (t,b) ∈ I x U .

φ heißt auch der lokale Fluss zu x′ = F(x) bei a.

Beispiele:

  • x′ = x hat den lokalen Fluss φ(t,b) = bet , (t,b) ∈ R x R, als Lösungsschar.
  • x′ = x2 hat den lokalen Fluss φ(t,b) = b(1-bt)-1, bt < 1, als Lösungsschar.
  • x′ = Ax hat den lokalen Fluss φ(t,b) = exp(At)b, (t,b) ∈ R x Rm als Lösungsschar.

Im folgenden sei F: X → Rm weiterhin stetig differenzierbar.

Maximale Lösung

Betrachtet man die Gesamtheit aller Lösungen x = xI : I → X des Anfangswertproblems x′ = F(x), x(0) = a, und ist Ia die Vereinigung über alle diese Intervalle I , so ist nach 2º wegen der Eindeutigkeit die Festsetzung

xa(t) := xI(t) für t ∈ I ⊂ Ia
wohldefiniert und liefert eine Lösung des Anfangswertproblems mit maximalen Definitionsbereich. Diese Lösung heißt maximal, weil für jede Lösung x : I → X von x′ = F(x), x(0) = a, stets I ⊂ Ia und xa|I = x gilt.

Der globale Fluss

Nach 3º ist die Menge Σ := {(t,a) : t ∈ Ia } offen in R x X . Die maximalen Lösungen lassen sich zusammenfügen zu dem globalen Fluss φ(t,a) := xa(t) , (t,a) ∈ Σ . Der globale Fluss ist differenzierbar und liefert zu festem a ∈ X die eindeutig bestimmte maximale Lösung des Anfangswertproblems x′ = F(x) , x(0) = a .

Beispiele:

  • φ(t,a) = aet, (t,a) ∈ R x R, ist bereits globaler Fluss von x′ = x .
  • x′ = x2 hat den globalen Fluss φ(t,a) = a(1-at)-1, (t,a) ∈ {(t,a) ∈ R x R : at < 1} = Σ, als Lösungsschar.
  • φ(t,b) = exp(At)b, (t,b) ∈ R x Rm, ist bereits globaler Fluss von x′ = Ax , wenn A eine m x m - Matrix bezeichnet.

Vollständigkeit

Das Vektorfeld F oder die Differentialgleichung x′ = F(x) heißt vollständig, wenn jede maximale Lösung auf ganz R definiert ist, also wenn Σ = R x X gilt.
Von den Beispielen sind offensichtlich x′ = x und x′ = Ax vollständig, während x′ = x² nicht vollständig ist.

Satz: Sei wie zuvor F: X → Rm ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf der offenen Menge X ⊂ Rm , und es sei K ⊂ X eine kompakte Teilmenge mit der Eigenschaft, dass für alle a ∈ K und für jede Lösung x : I → X von x′ = F(x) auf einem offenen Intervall I um 0 mit x(0) = a stets die gesamte Bildmenge x(I) in K liegt. Dann ist die maximale Lösung xa von x′ = F(x) durch a auf ganz R definiert und man hat einen Fluss φ : R x K → K mit den folgenden Eigenschaften:

  1. φ ist stetig und für alle t ∈ R definiert φt(a) := φ(t,a) eine topologische Abbildung φt: K → K , a → φt(a) .
  2. φ(0,a) und φ(t,φ(s,a)) = φ(t+s,a) für alle t,s ∈ R und alle a ∈ K, d.h. (φt) ist eine 1-Parametergruppe von Transformationen K: → K , d.h. es gilt φ0 = idK und φt+s = φts .

Beweisskizze: Die angegebene Bedingung bedeutet, dass jede Lösung x : I → X von x′ = F(x) auf einem Intervall I = ]s,u[ um 0 mit x(0) = a ∈ K gleichmäßig stetig ist und daher b := limt → u x(t) ∈ K existiert. Damit wird ein neues Anfangswertproblem x′ = F(x), x(u) = b , mit lokal eindeutiger Lösung nach 2º gegeben, die ganz in K verläuft, und die die vorherige Lösung über den Punkt u hinaus fortsetzt. Wiederholung in beide Richtungen liefert die gewünschte maximale Lösung auf ganz R , die ganz in K verläuft. Die genannten Eigenschaften 1. und 2. ergeben sich dann aus der Eindeutigkeit der maximalen Lösungen.


Im Kontext der Replikatordynamik zu einem endlichen symmetrischen Spiel mit 2 Spielern und m Strategien hat man es tatsächlich mit einem solchen dynamischen Systen zu tun, denn die Replikatorgleichung x′ = F(x) hat als Lösungsschar auf dem Standardsimplex Δ ⊂ Rm einen globalen Fluss φ : R x Δ → Δ mit den im Satz genannten Eigenschaften.

Man nennt oft auch das System (φt) ein dynamisches System. Im Falle eines vollständigen dynamischen Systems interessiert man sich vielfach für das Langzeitverhalten der Lösungen, insbesondere für Aussagen über φ(s,a) im Grenzübergang t → ∞. In diesem Zusammenhamg sind die Begriffe der Stabilität und der asymptotischen Stabilität von stationären Lösungen von besonderer Bedeutung.

Für eine numerische Lösung siehe Numerik.

Beispiele

y' = 3x, y(0) = \frac{1}{2}

Wir integrieren die Gleichung und beachten die Anfangsbedingung: y(x) = 3 \int x \, \mathrm{d}x = \frac{3}{2}x^{2} + C, y(0) = C = \frac{1}{2}, y(x) = \frac{3}{2}x^{2} + \frac{1}{2}


y' = \frac{1}{y^{2}}, y(0) = 1

Auch bei dieser Differentialgleichung fällt es nicht schwer eine Lösung zu finden.

y' = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y^{-2} \Leftrightarrow y^{2} \mathrm{d}y = \mathrm{d}x
\int y^{2}\mathrm{d}y = \int \mathrm{d}x + C, \frac{1}{3}y^{3} = x + C, y(x) = \sqrt[3]{3x + C'}, y(0) = 1, y(x) = \sqrt[3]{3x+1}


y' + x + y = 0,y(0) = 0

Wir substituieren z = − xy( = y') und erhalten

\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = -1 -y', z' = -1 -z

\int \frac{\mathrm{d}z}{1+z} = -\int\mathrm{d}x + C

Daraus folgt mit anschliessender Rücksubstitution:

1+z = e^{-x+C}, 1-x-y = Ke^{-x}, y(x) = 1-x-\frac{K}{e^{x}}, y(0) = 1-K = 0, K=1, y(x) = 1-x-e^{-x}


y'x^{2} - 2xy - y^{2} = 0 (x \neq 0)

\Rightarrow y' = \frac{2xy+y^{2}}{x^{2}} = 2(\frac{y}{x}) + (\frac{y}{x})^{2} = f(\frac{y}{x})


Wir substituieren z = \frac{y}{x} und erhalten

z' = \frac{xy'-y}{x^{2}} = \frac{x \cdot f(z)-zx}{x^{2}}=\frac{f(z)-z}{x}=\frac{2z+z^{2}-z}{x}=\frac{z+z^{2}}{x}

\frac{\mathrm{d}z}{dx}=\frac{z+z^{2}}{x}, \int \frac{1}{z(z+1)} \mathrm{d}z = \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x + C

Der Bruch \frac{1}{z(z+1)} wird nun mit Hilfe der Partialbruchzerlegung vereinfacht: \frac{1}{z(z+1)} = \frac{1}{z} - \frac{1}{z+1}

Für x > 0,z > 0,K = exp(C) gilt dann:

ln(z) − ln(1 + z) = ln(x) + C

ln(\frac{z}{1+z}) = ln(x) + C

\frac{z}{1+z} = Kx

z = Kx + zKx = \frac{Kx}{1-Kx}

\frac{y}{x} = \frac{Kx}{1-Kx}, y(x) = \frac{Kx^{2}}{1-Kx}


Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung y' + p(x)y + q(x) = 0 heisst homogen falls q = 0, sonst inhomogen. Die homogene Differentialgleichung lässt sich mit Trennung der Variablen leicht lösen. Um aus der Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung eine Lösung der ursprünglichen, inhomogenen Differentialgleichung zu gewinnen, benutzt man das von dem französischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange angegebene Verfahren der Variation der Konstanten: Man fasst C in der Lösung der homogenen Differentialgleichung nicht als Konstante, sondern als Funktion in Abhängigkeit von x auf. Ein Beispiel soll die Methode verdeutlichen:

x2y' + 2xy = 1 (x \neq 0)

Darstellung als inhomogene Differentialgleichung:

y' + \frac{2}{x}y - \frac{1}{x^{2}} = 0

Wir lösen zunächst die homogene Gleichung:

y' + \frac{2}{x}y = 0

\frac{\mathrm{d}y}{y} = (-2)\frac{\mathrm{d}x}{x}

y = \frac{C}{x^2}

Variation der Konstanten: y = \frac{C(x)}{x^2}

Wir setzen diese Lösung in die inhomogene Gleichung ein, um C(x) zu bestimmen.

(\frac{C(x)}{x^2})' + \frac{2}{x}\cdot\frac{C(x)}{x^2} + \frac{-1}{x^2} = 0

\frac{x^{2}\cdot C'(x) - 2x\cdot C(x) + 2x\cdot C(x) - x^{2}}{x^{4}} = 0

C'(x) \cdot x^{2} - x^{2} = 0, C'(x) = 1, C(x) = x + K

Daraus folgt die Lösung unserer ursprünglichen Differentialgleichung:

y(x) = \frac{x+K}{x^{2}}

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