Das Ultimatumspiel

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Das Ultimatumspiel:

Im Ultimatumspiel (Variante eines nicht-kooperativen Verhandlungsspiels) soll ein positiver Betrag z auf zwei Spieler in Abhängigkeit von deren Entscheidungen aufgeteilt werden. In der ersten Stufe bietet Spieler 1, Spieler 2 einen Betrag x ≤ z (z.B.: z = 100 und x aus {0, ... , 99}) an.

In der zweiten Stufe kann Spieler 2 nun zwischen zwei Strategien wählen:

  • falls er akzeptiert (Strategie J) führt dies zur Auszahlung (x , y) mit y = z - x und x, y ≥ 0 (in unserem Beispiel ist y = 100 - x).
  • falls er ablehnt (Strategie N) führt dies zur Auszahlung (x , y) = (0 , 0).


Spielbaum:

                                                          Sp.1
                                                             |
                                                             | x
                                                             |
                                                           Sp.2
                                                           /  \
                                                        J /    \ N
                                                         /      \
                                                     (x,z-x)   (0,0)


Spielbaum für unser Beispiel:

                                                          Sp.1
  
                                                       /  / ... \
                                                   0  /  /       \ 99
                                                     /  /         \
                                                    o  o    ...    o  Sp.2
                                                   /|  |\          |\
                                                 J/ |N | \        J| \N
                                                 0  0  1  0       99  0
                                               100  0  99 0        1  0


Analyse des Spiels: (Rückwärtsinduktion)

Stufe 2:

Spieler 2 wird jede Aufteilung mit y > 0 akzeptieren, da selbst ein sehr kleiner Betrag besser ist als die Auszahlung 0. Bei einem Aufteilungsvorschlag mit y = 0, ist Spieler 2 indifferent zwischen Annehmen und Ablehnen. (Beispiel: Spieler 2 wählt stets die Strategie J, da für alle Vorschläge von Spieler1 y > 0 ist)

Stufe 1:

Ein gewinnmaximierender Spieler 1 wird Spieler 2 so wenig wie möglich anbieten, um für sich den größt möglichen Rest zu beanspruchen. (Beispiel: Spieler 1 wählt x = 99 => Spieler 2 erhält y = 100 - 99 = 1) Angenommen Spieler 1 schlägt x = z - ε mit ε > 0 vor, so erhält Spieler 2 y = ε und würde den Vorschlag akzeptieren. Dies ist allerdings kein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, da sich Spieler 1 besser stellen könnte, indem er den Vorschlag x = z - ε/2 macht. Spieler 2 hätte nun die Auszahlung y = ε/2 und würde immer noch akzeptieren. => Es existiert genau ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, mit der Auszahlung (x = z, y = 0). (In unserem Beispiel kommt x aus {0, ... , 99}. Spieler 1 wird seinen Gewinn maximieren wollen. => Die Strategie (99, J) mit der Auszahlung (99 , 1) ist teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht)

In der Realität kann man jedoch solch ein Verhalten der Spieler nicht voraussetzen, da Spieler 1 oftmals eine faire Aufteilung bevorzugt, und wenn nicht, die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung steigt, je niedriger das Angebot ist.

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