Dart-Duell

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Das Spiel

Zwei Spieler haben einen Wurfpfeil. Sie stehen sich an den Enden eines Intervalls der Länge 1 gegenüber. Gleichzeitig gehen sie aufeinander zu und entscheiden sich zu jedem Zeitpunkt, ob sie den Dart auf den Gegner werfen oder nicht. Das Spiel ist in folgender Abbildung dargestellt.

Dartbild.jpg

Die Trefferwahrscheinlichkeit sei 1-Abstand zum Gegner. Es gewinnt derjenige, der alleine nicht getroffen wird und erhält 1 als Auszahlung, der Gegner -1. Treffen beide oder keiner, ist die Auszahlung jeweils 0.

Wirft ein Spieler zu früh, wird er den Gegner verfehlen. Dieser kann dann abwarten, bis der Abstand zu dem Gegenspieler so gering ist, daß die Trefferwahrscheinlichkeit 1 ist. Wirft ein Spieler zu spät, kann er von seinem Gegner schon getroffen worden sein. So stellt sich also die Frage nach dem richtigen Zeitpunkt des Werfens.

Da der Gewinn des einen Spielers der Verlust des anderen ist,sprechen wir hier von einem Nullsummenspiel.

Wir bestimmen zunächst die Auszahlungsfunktion von Spieler A: Sei p die Trefferwahrscheinlichkeit von Spieler A, wenn er sich zu seinem Wurf entscheidet, und q die Trefferwahrscheinlichkeit von Spieler B bei seinem Wurf. Die Auszahlungsfunktion a ist dann gegeben durch:


a(p,q) = \begin{cases} 1*p+(-1)*(1-p), &  p<q \\
                     1*p*(1-p)+(-1)*(1-p)*p,&  p=q \\ 
                     (-1)*q+1*(1-q),&  p>q 
       \end{cases}

und damit


a(p,q)=\begin{cases} 2p - 1, &  p<q \\
                     0, &  p=q \\ 
                     1 - 2q, &  p>q 
       \end{cases}

Wegen


\begin{matrix}
a(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) &=& 0,\\
a(\frac{1}{2},q)           &=& 0,q > \frac{1}{2}\\
                           &=& 0,q < \frac{1}{2}\\
a(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) &<& 0,p > \frac{1}{2}\\
                           &=& 0,p > \frac{1}{2}\\ \end{matrix}

folgt

 a(p,\frac{1}{2}) \leq a(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \leq a(\frac{1}{2},q)

für beliebige p, q. Damit ist (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) Sattelpunkt von a und damit auch Gleichgewichtspunkt des als Spiel aufgefaßten Duells.

Erweiterungen des Dart Duells

Das Spiel kann auf verschiedene Art erweitert werden. Hier ein paar Beispiele für eine Erweiterung:

  • Beide Spieler haben eine unterschiedliche Treffergenauigkeit, die von der Entfernung der Spieler abhängig ist. Sie werfen, wenn der Durchschnitt der Trefferwahrscheinlichkeiten q=\frac{1}{2} ist.
  • Ein Spieler hat zwei Wurfpfeile, der andere hat nur einen. Der Spieler mit zwei Pfeilen wirft den ersten bei einer Trefferwahrscheinlichkeit q=\frac{1}{3}. Verfehlt dieser Pfeil das Ziel, so spielen beide mit der ursprünglichen Strategie weiter.
  • Ein oder beide Spieler werfen ohne das Wissen des Gegners. Beide Spieler werden Zufallsstrategien anwenden. Werden beide unbemerkt werfen, so wird q=\frac{1}{3} gewählt.

Anwendungen

Ein wichtiges Anwendungsgebiet sind beispielsweise Militärtaktiken, bei denen der optimale Zeitpunkt gesucht wird, die eigenen Raketen zu starten, bevor sie vom Gegner schon am Boden zerstört wurden.

Ausserdem braucht es solcher Überlegungen, um die optimale Aufteilung der Einsatzgebiete, wie Angriff auf Bodentruppen oder Militärflughäfen, für Kampfflugzeuge zu bestimmen.

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