Bier-Quiche-Spiel

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Das Bier-Quiche-Spiel (auch Beer-Quiche-Spiel) ist ein 1987 von Cho und Kreps vorgestelltes Signalisierungsspiel und dient oft als einführendes Beispiel für die Verwendung von Signalen in der Spieltheorie. Es ist dabei ein Beispiel für ein Spiel mit sequentiellen Gleichgewichten bzw. Pooling-Gleichgewichten und deren Elimination durch das intuitive Kriterium.

Spielablauf

In einem Saloon im Wilden Westen sitzt ein streitsüchtiger Gast (Spieler 2), der sich mit einem Mann an der Bar (Spieler 1) in einem Duell (D) prügeln will. Er weiß, dass dieser Mann mit einer bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung Θ entweder ein starker Schläger (ts) oder ein schwaches Weichei tw ist. Wäre Spieler 1 ein Schlägertyp, würde Spieler 2 ein Duell verlieren, wäre er ein Weichei, würde Spieler 2 gewinnen. Spieler 1 wiederum hat, sowohl als Schläger als auch als Weichei, kein Interesse an einer Auseinandersetzung mit Spieler 2, und würde daher einem Duell am liebsten entgehen.

Damit Spieler 2 den Typ von Spieler 1 besser herausfinden kann, beobachtet er, was dieser an der Bar bestellt. Er weiß, dass Schlägertypen am liebsten Bier (B) mögen, Weicheier dagegen Quiche (Q) bevorzugen. Er weiß aber auch, dass ihn Spieler 1 durch eine nicht zu seinem Typ passende Bestellung bewusst täuschen kann.

Um die jeweiligen Präferenzen der beiden Spieler zu modellieren, definiert man folgende Auszahlungen:

  • Kommt es zum Duell mit einem Weichei oder wurde ein Duell mit einem Schläger verhindert, wird Spieler 2 mit der Auszahlung 1 belohnt. Andernfalls geht er leer aus.
  • Kann Spieler 1 ein Duell verhindern (egal welchen Typs er ist), erhält er die Auszahlung 2.
  • Gibt Spieler 1 seine jeweils bevorzugte Bestellung auf (also bestellt der Schläger Bier bzw. das Weichei Quiche) bekommt er, unabhängig davon, ob es zum Duell kommt oder nicht, die Auszahlung 1.

Der Ablauf des Spiels mit den entsprechenden Auszahlungen ist in folgendem Spielbaum festgehalten:

Bierquiche.png

Das Spiel lässt sich formal so darstellen:

  • Spielermenge M = {1,2}, wobei Spieler 1 als Mann an der Bar der informierte Spieler ist
  • Strategiemenge S=\mathcal{B} \cup A, mit
    • den Botschaften \mathcal{B}=\{B, Q\} von Spieler 1
    • den Aktionen A = {D,N} von Spieler 2.
  • Menge der Typausprägungen T' = {tw,ts}
  • Informationsmenge
  • Wahrscheinlichkeitsverteilung Θ = (θws), mit θs = :θ und θw = 1 − θ.
  • Einschätzungssystem μ = (μws).

Analyse des Spiels

Die Bestellung an der Bar durch Spieler 1 ist ein Signal an Spieler 2, und wird von diesem entsprechend interpretiert.

Intuitiv vermutet man, dass Spieler 2 immer dann ein Duell beginnen sollte, wenn Spieler 1 eine Quiche isst, und entsprechend ein Duell mit einem Biertrinker vermeiden. Das ist aber tatsächlich keine Gleichgewichtslösung. Würde nämlich Spieler 2 immer D wählen, wenn Spieler 1 eine Quiche isst, könnte Spieler 1 sich verbessern, indem er einfach immer ein Bier bestellt, um so der Schlägerei zu entgehen. Es kann in diesem Spiel also keine Trenngleichgewichte geben. Das Spiel hat jedoch , umgewandelt in ein Extensives Spiel mit unvollkommener Information (Harsanyi-Transformation), zwei sequentielle Gleichgewichte, die beide Pooling-Gleichgewichte sind.

Offensichtlich ist ein sequentielles Gleichgewicht, wenn Spieler 1 immer ein Bier bestellt und Spieler 2 nur kämpft, wenn Spieler 1 eine Quiche bestellt. Sollte Spieler 1 ein Schläger sein, kann er so seine Stärke demonstrieren, damit einen Kampf verhindern und zusätzlich seine bevorzugte Bestellung aufgeben. Ist er ein Weichei, muss er zwar auf die Quiche verzichten, kann sich aber durch die Wahl B als Schläger tarnen, was für ihn eine höhere Auszahlung bedeutet, als wenn er sich nach dem Essen der Quiche prügeln müsste. Sollte Spieler 2 \mu_w(Q) \geq 0,5 einschätzen, ist das Pooling-Gleichgewicht (B,N, \mu_w(Q) \geq 0,5) gefunden. Das bedeutet, Spieler 2 muss also die Einschätzung haben, dass ein Quiche-Esser mit größerer Wahrscheinlichkeit ein Weichei statt ein Schläger ist, damit ein Gleichgewicht erreicht wird.

Erstaunlicherweise ist aber auch die Lösung (Q,N, \mu_w(B) \geq 0,5) ein sequentielles Gleichgewicht, also dass beide möglichen Typen von Spieler 1 immer Quiche essen und Spieler 2 nur dann eine Schlägerei beginnt, wenn Spieler 1 ein Bier bestellt. In diesem Fall schätzt Spieler 2 also ein, dass ein Biertrinker mit größerer Wahrscheinlichkeit ein Weichei statt einem Schläger ist. Diese Einschätzung ist zwar konsistent mit dem Spielverlauf, und damit diese Lösung ein erlaubtes Gleichgewicht nach der Definition des sequentiellen Gleichgewichtes, sie ist jedoch unplausibel.

Das lässt sich leicht mit dem intuitiven Kriterium zeigen. Dieses ist verletzt, wenn die beiden Bedingungen

  1. \forall t \in J und \forall a \in R(T,m'): u_1^*(t) > u_1(t,m',a)
  2. \forall a \in R(T-J,m'): u_1^*(t') < u_1(t',m',a)

erfüllt sind. In unserem Beispiel ist J:=\{t_w\}, \,T-J=\{t_s\}, sowie m:=Q,\, m':=b. R(T,b) hängt dann von der Wahrscheinlichkeitsverteilung Θ ab, liefert aber für das zu untersuchende u1(tw,B,a) maximal die Auszahlung 2. Desweiteren ist R(TJ,b) = {N}. Wir erhalten dann:

  1.  u_1^*(t_w) = 3 > 2 = u_1(t_w,B,N)
  2.  u_1^*(t_s) = 2 < 3 = u_1(t_s,B,N)

Das heißt, dass das Pooling-Gleichgewicht (Q,N, \mu_w(B) \geq 0,5) das intuitive Kriterium nicht erfüllt und somit eliminiert werden kann.


Literatur

  • Manfred J. Holler, Gerhard Illing: ,,Einführung in die Spieltheorie”
  • Fiona Carmichael: ,,A Guide to Game Theory”
  • Anke Gerber: Vorlesungsskript zu ,,Informationsökonomik”, 2003
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