Beuteverteilung

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Formulierung des Spiels

Es beraten n Piraten über die Verteilung von k\ge n Einheiten erbeuteter Güter, wobei jede Beuteeinheit unteilbar ist. Man einigt sich auf folgendes Verfahren:

  1. Der älteste anwesende Pirat schlägt eine Verteilung vor.
  2. Alle anwesenden Piraten stimmen über den Vorschlag ab (ja/nein).
  3. Stimmt die einfache Mehrheit der Piraten für den Vorschlag, so wird er angenommen, und das Spiel ist beendet. Andernfalls geht der älteste Pirat über Bord, und das Spiel wird von vorne begonnen.

Selbstverständlich bricht das Spiel allerspätestens ab, wenn nur ein einziger Pirat verblieben ist. Welchen Vorschlag wird der älteste Pirat machen, wenn er am Leben bleiben und sich dabei einen möglichst großen Teil der Beute sichern will?

Die Piraten seien durch die Menge \{1,\dots,n\} dargestellt, wobei n der älteste Pirat sei. Eine Verteilung notieren wir als Tupel (s_1,\dots,s_n) mit 0\le s_i \in \mathbb Z und
si = k.
i

Eine Lösung: Rückwärtsinduktion

Setzt man beliebig intelligente und rein eigennützig-rational handelnde Piraten voraus, so ist die folgende Annahme plausibel: Ein Pirat wird einem Verteilungsvorschlag genau dann zustimmen, wenn er bei Ablehnung des Vorschlags mit einem schlechteren Ergebnis für sich selbst rechnen muß.

Dies ermöglicht eine Analyse des "Spiels" durch vollständige Induktion.
Ist n = 1, so erhält der einzige Pirat selbstverständlich die ganze Beute.
Bei n = 2 reicht die Stimme von Pirat 2 aus, um jeden Vorschlag durchzusetzen, er wird also die Verteilung (0,k) vorschlagen.

Bei n = 3 "Spielern" ist Pirat 3 auf die Stimme eines weiteren Piraten angewiesen. Die Zustimmung von Pirat 2 ist nicht zu erreichen, da bei Ablehnung des Vorschlages Pirat 2 die gesamte Beute erhalten wird. Andererseits wird bei Ablehnung des Vorschlages Pirat 1 leer ausgehen; also sichert sich Pirat 3 mit der Verteilung (1,0,(k − 1)) die Zustimmung von Pirat 1, und diese Verteilung ist für den Piraten 3 optimal wegen der Unteilbarkeit der Beuteeinheiten.

Bei n = 4 ist Pirat 4 ebenfalls auf die Zustimmung eines weiteren Piraten angewiesen. Wie gezeigt, muß im Fall der Ablehnung des Vorschlags vom Piraten 4 von der Verteilung (1,0,(k − 1)) ausgegangen werden. 4 muß einen der "Spieler" 1,2 oder 3 besser stellen, als dieser bei der Verteilung (1,0,(k − 1)) wegkommen würde, und zwar so, daß 4 dennoch einen möglichst großen Anteil der Beute erhält. Er hat also folgende Möglichkeiten:

  1. Er kann dem 1. "Spieler" 2 Anteile der Beute versprechen. Da er auf die Zustimmung von "Spieler" 2 und 3 nicht angewiesen ist, kann er also die Verteilung (2,0,0,(k − 2)) vorschlagen.
  2. Er kann dem 2. "Spieler" eine Beuteeinheit versprechen, also (0,1,0,(k − 1)) vorschlagen.
  3. Er kann dem 3. "Spieler" die gesamte Beute versprechen, was er nicht tun wird.

Man sieht also, daß im Fall n = 4 der "Spieler" 4 den für ihn optimalen Verteilungsvorschlag (0,1,0,(k − 1)) einbringen wird.

Das führt uns zu folgendem Satz: Ist n ungerade, so wird "Spieler" n unter den gemachten Annahmen die Verteilung (1,0,1,0,\dots,1,0,(k-\frac{(n-1)}{2})) vorschlagen. Ist n dagegen gerade, so wird n die Verteilung (0,1,0,1,\dots,0,(k + 1 - \frac{n}{2})) vorschlagen, und in beiden Fällen wird dieser Vorschlag angenommen werden.

Den Beweis führen wir mittels Induktion nach n. Induktionsanfänge haben wir schon genügend berechnet. Ist nun n gerade, so wird nach Induktionsvoraussetzung im Fall, daß der Vorschlag von "Spieler" n abgelehnt wird, die Verteilung (1,0,1,0,\dots,1,0,(k-\frac{(n-2)}{2})) auf n − 1 Piraten durchgesetzt werden. Pirat n ist auf die Stimmen von \frac{n}{2-1} weiteren Piraten angewiesen, die er also besser- stellen muß. Hierbei ist es für ihn am günstigsten, den genau \frac{n}{2-1} Piraten, die bei n − 1 Teilnehmern leer ausgehen, jeweils einen Teil der Beute zuzugestehen, also wird er die Verteilung (0,1,0,1,\dots,1,0,(k+1-\frac{n}{2})) vorschlagen, und diese wird angenommen werden. Der Fall, daß n ungerade ist, wird analog bewiesen.

Variationen des Spiels

Das Spiel bietet einige Möglichkeiten für subtile und scheinbar unwichtige Änderungen an den Bedingungen:

  • Man kann fordern, daß ein Verteilungsvorschlag nur angenommen ist, wenn die absolute Mehrheit der Piraten ihm zustimmt.
  • Man kann den ältesten Piraten von der Abstimmung ausschließen.
  • Man kann annehmen, daß ein Pirat eine Verteilung nur dann ablehnt, wenn er bei Nichtannahme des Vorschlages sogar mit einem besseren Ergebnis rechnen kann. (Beispielsweise, weil der Pirat kein Interesse daran hat, viele seiner Kollegen dem Meer überantworten zu müssen.)

Als Beispiel untersuchen wir, was sich an unserer Lösung ändert, wenn wir die erste dieser Änderungen umsetzen, also zur Annahme eines Vorschlages die absolute Mehrheit aller Piraten notwendig wird.

Der Fall n = 1 bleibt natürlich weiterhin trivial mit der Verteilung (k). Im Fall n = 2 ist nun aber Spieler 2 auf die Zustimmung von Spieler 1 angewiesen. Diese kann er jedoch nie erhalten, da er Spieler 1 nicht besserstellen kann als im Fall n = 1. Also wird jeder Vorschlag von Spieler 2 abgelehnt werden, und die Auszahlung wird wieder (k) lauten.

Für n = 3 ist Spieler 3 wie bisher nur auf die Zustimmung eines weiteren Spielers angewiesen. Diesmal erreicht er dies jedoch bereits mit (0,0,k), da Spieler 2 bei Annahme dieses Vorschlags wenigstens überlebt, während er bei Ablehnung des Vorschlags sicher über Bord geht.

Für n = 4 benötigt 4 außer seiner eigenen zwei weitere Ja-Stimmen, er muß also zwei Spieler besserstellen. Das erreicht er am günstigsten mit dem Vorschlag (1,1,0,k − 2). Ab n = 5 zeigt sich, daß es keine eindeutige beste Strategie mehr gibt, da hier die Verteilungsvorschläge (2,0,1,0,k − 3) und (0,2,1,0,k − 3) gleichberechtigt optimal sind, usw.

Untersuchen wir noch kurz die 3. Variationsmöglichkeit, also ein weniger strenges Ablehnungskriterium der anderen Piraten (wobei wir jedoch wieder zu einfachen Mehrheiten zurückkehren). Dann muß der vorschlagende Spieler n einen Spieler j < n nicht besser stellen als für n − 1 Spieler, um seine Zustimmung zu bekommen, sondern nur genausogut. Man erhält dann leicht die optimalen Vorschläge (k), (0,k), (0,0,k), (0,0,0,k) usw.

Kritik an Lösung und Rationalitätsannahme

Hier zeigt sich ein erstes Problem unserer Lösung des Spieles: scheinbar unbedeutende Änderungen am Verhalten der Piraten oder den Abstimmungsmodalitäten bringen völlig andere Ergebnisse. Natürlich ließe sich argumentieren, daß jede Änderung an den Regeln ein völlig anderes Spiel hervorbringt, für das es nicht weiter erstaunlich ist, daß es andere optimale Strategien besitzt als das ursprüngliche Spiel. Andererseits sind die Änderungen unscheinbar genug, daß man annehmen kann, daß die Varianten bei der Auswahl des Abstimmungsverfahrens (fälschlicherweise) für gleichwertig gehalten werden.

Dies bringt uns wieder zum Problem der Grenzen der Rationalität: ist anzunehmen, daß Piraten (oder auch sich um Verteilung von Assistentenstellen streitende Professoren usw.) vor der Entscheidung für eine Abstimmungsstrategie das komplette Spiel induktiv analysieren, wie wir das getan haben? Und wenn ja, muß dann nicht - da wir gesehen haben, wie sensibel das Spiel auf leichte Änderungen der Modalitäten reagiert - die Entscheidung für ein Abstimmungsverfahren selbst spieltheoretisch modelliert und analysiert werden?

Links

Guter Artikel zum Spiel. Betrachtet insbesondere auch den Fall, dass mehr Piraten als Gold vorhanden sind.

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