Beste Antwort

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Die Menge der besten Antworten hat in der Spieltheorie eine große Bedeutung für die Analyse eines Spiels in Normalform sowie für die Bestimmung von Nash-Gleichgewichten. Die beste Antwort wird dabei durch die Fragestellung charakterisiert, welche Strategie sich am besten eignet, um seinen eigenen Nutzen unter Berücksichtigung einer vorgegebenen Strategiekombination der andere Spieler zu maximieren.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen
- 1.1 Beste Antwort
- 1.2 Korrespondenz der besten Antworten
2 Existenz und Zusammenhang mit Nash-Gleichgewichten
3 Beispiele
4 Strikt und schwach beste Antwort
5 Quellen

Definitionen

Beste Antwort

In einem Normalformenspiel (M,S,u) heißt eine Strategie $\quad \hat s_i \in S_i$ des Spielers $i \in M=\{1,\ldots ,N\}$ genau dann eine beste Antwort auf $s_{-i} \in S_{-i}$ , wenn

$\forall s_i \in S_{i}: \quad u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})$ .

Anders geschrieben: $\hat s_i$ ist genau dann beste Antwort auf $s_{-i} \in S_{-i}\,,$ wenn

$u_i(\hat s_i,s_{-i}) = \max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\}$ .

Notationen

Dabei wird für einen Spieler $i \in M$ und für ein Strategieprofil $s=(s_1, \ldots ,s_N) \in S=S_1\times \ldots \times S_N$ mit $s - i$ das N-1 - Tupel

$s_{-i} = (s_1, \ldots ,s_{i-1},s_{i+1}, \ldots ,s_N)$

bezeichnet, also das Tupel, das entsteht, wenn bei s die Komponente $s i$ weggelassen wird. Mit $S - i$ wird entsprechend die Menge aller dieser $s - i$ bezeichnet:

$S_{-i} = \prod_{k=1, k\neq i}^N S_k \,.$

Schließlich steht $(s i, s - i)$ für s, und $(\hat s_i,s_{-i})$ für $(\hat s_i,s_{-i}) = (s_1, \ldots ,s_{i-1},\hat s_i,s_ {i+1}, \ldots , s_N) \,.$

Korrespondenz der besten Antworten

Die mengenwertige Abbildung $b_i : S_{-i} \rightarrow \mathfrak {P}(S_i)$ mit

$b_i (s_{-i}) := \{ \hat s_i \in S_i: u_i(\hat s_i,s_{-i}) = \max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} \}\subset S_i$

heißt Korrespondenz der besten Antworten für den Spieler i.
Die mengenwertige Abbildung $b : S \rightarrow \prod_{i=1}^N \mathfrak {P}(S_i)$ mit

$s=(s_1, \ldots ,s_N) \mapsto b(s) := b_1(s_{-1})\times b_2(s_{-2}) \times \ldots \times b_N (s_{-N})$

heißt Korrespondenz der besten Antworten oder Beste-Antwort-Korrespondenz.

Existenz und Zusammenhang mit Nash-Gleichgewichten

Existenz: In jedem Normalformenspiel existiert die Beste-Antwort-Korrespondenz. Für endliche Spiele ist $b_k(s_{-k}) \neq \emptyset$ für alle $k \in M$ und alle $s_{-k}\in S_{-k}\,,$ weil das Maximum einer Funktion (hier $s_k \mapsto u_k(s_k,s_{-k}) \,$ ) über einer endlichen Menge stets existiert. Dasselbe gilt für den Fall, dass alle Strategiemengen $S k$ kompakte Räume und die Nutzenfunktionen $u_k : S \to \mathbb R$ stetige Funktionen sind.

Beste-Antwort-Funktion

Es sei $b_i (s_{-i}) \not= \emptyset$ für alle Spieler i und für alle Strategiekombinationen $s_{-i} \in S_{-i}$ . Dann kann man (unter Ausnutzung des Auswahlaxioms) $r_i (s_{-i}) \in b_i (s_{-i})$ auswählen. Die Funktion $r_i : S_{-i} \rightarrow S_{i}$ ist dann eine feste Beste-Antwort-Funktion und es gilt $r_i(s_{-i})\in b_i(s_{-i})\,.$

Satz: Eine Strategiekombination $s' \in S$ ist genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn $s' \in b (s')$ .

Beweis

Sei $s' = (s'_1, \ldots ,s'_N) \in b (s')$ . Das heißt, es gilt: $\forall i: s'_i \in b_i (s'_{-i})$ . Daher ist nach Definition $u_i(s') = \max_{s_i \in S_i}\ u_i(s_i,s'_{-i})$ , also ist die Definition des Nash-Gleichgewichts

$\forall i\in M\,\, \forall s_i \in S_{i}\,\, u_i(s') \ge u_i(s_i,s'_{-i})$

erfüllt.
Sei umgekehrt s' ein Nash-Gleichgewicht. Dann gilt $\forall i\in M\,\, \forall s_i \in S_{i}\,\, u_i(s') \ge u_i(s_i,s'_{-i})$ , also $\forall i\in M: s'_i \in b_i (s'_{-i})$ , also $s' \in b (s') \,.$

Beispiele

Im Fall $u j = 0$ sind alle Strategien beste Antworten, da trivialerweise $\forall s_i \in S_{i}: u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})$ für alle Strategien erfüllt ist.
Im Gefangenendilemma ist für beide Spieler A (Aussagen) die jeweils beste Antwort sowohl auf S (Schweigen) als auch auf A:
- $u 1$ (A, S) = 0 > -3 = $u 1$ (S, S)
- $u 1$ (A, A) = -8 > -10 = $u 1$ (S, A)
(Die Haftstrafen wurden als negative Konsequenz zum leichteren Verständnis mit negativen Jahresangaben versehen; für Spieler 2 analog)
Auch die Lösung im Cournot-Duopol beruht auf der Bestimmung der besten Antworten.
Bei der Rückwärtsinduktion wird in jedem Schritt das Prinzip der besten Antwort angewendet.
Für die beste Antwort existiert eine beste-Antwort Äquivalenz, die im Artikel Äquivalenz in Spielen näher beschrieben wird.

Strikt und schwach beste Antwort

Vergleichbar mit der Unterscheidung von strikter und schwacher Dominanz kann man auch die Menge der besten Antworten in strikt oder streng beste Antworten und schwach beste Antworten unterscheiden:

Definition Strikt beste Antwort: Eine Strategie $s_i^*$ heißt strikt beste Antwort auf eine Strategie $s - i$ genau dann, wenn gilt: $u_i (s_i^*, s_{-i}) > u_i(s_i,s_{-i}) \quad \forall s_i \in S_{i} \setminus \{s_i^*\}$ .

Definition Schwach beste Antwort: Eine Strategie $s_i^*$ heißt schwach beste Antwort auf eine Strategie $s - i$ genau dann, wenn gilt: $u_i (s_i^*, s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i}) \quad \forall s_i \in S_{i}$ und; $\exists \hat s_i \in S_i \setminus s_i^*$ mit $u_i (\hat s_i, s_{-i}) = u_i(s_i^*,s_{-i})$ .

Es ist leicht zu sehen, dass es anders als bei schwach besten Antworten nicht zwei verschiedene strikt beste Antworten geben kann.
Außerdem beachte man: schwach beste Antwort ist formal stärker als beste Antwort.

Quellen

Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6

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