Auktionstheorie

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In dem Artikel Auktionen werden verschiedene Auktionsverfahren vorgestellt, die sich in verschiedenen Kriterien unterscheiden können. In dem folgenden Text werden die wichtigsten vier Auktionsformen beschrieben und spieltheoretisch analysiert. Es wird dabei für jede Auktionform nach der optimalen Bietstrategie und dem damit verbundenen zu erwartenden Gewinn gefragt.


Inhaltsverzeichnis

Auktionsformen

Folgende vier Auktionsformen sind die am Weitesten verbreiteten Formen zur Auktion eines einzelnen Gutes:


Englische Auktion (English Auction EA):
Unter einer Englischen Auktion versteht man die klassische Auktion, die vorallem bei Kunstauktionen Anwendung findet. Die Versteigerung startet bei einem Mindestpreis und durch jedes Gebot steigert sich der Preis. Die Auktion ist zu Ende, wenn nur noch ein Bieter aktiv ist, also kein weiterer Bieter das aktuelle Höchstgebot überbietet.
Holländische Auktion (Dutch Auction DA)
Bei der holländischen Auktion wird bei einem sehr hohen Preis gestartet und der Preis dannach kontinuierlich gesenkt. Sobald der erste Bieter signalisiert, dass er das Gut zu dem aktuellen Preis erwerben will, ist die Auktion beendet.
Simultane Erstpreisauktion (First Price Sealed Bid Auction (FA))
Hier reicht jeder Bieter nur ein Gebot ein, ohne jegliche Kenntnis über das Bietverhalten der anderen Bieter. Der Höchstbietenede bekommt auch hier den Zuschlag und muss das Gut zu seinem abgegebenen Preis, also dem Höchstgebot, erwerben.
Simultane Zweitpreisauktion (Second Price Sealed Bid Auction (SA))
Die Zweitpreisauktion läuft analog zur Erstpreisauktion (EA) ab. D.h. es erhält wieder der Höchstbietende den Zuschlag. Dabei muss er allerdings nicht sein eigenes Gebot (=Höchstgebot) zahlen, sondern nur das zweithöchste Gebot.


Das Independent-Private-Value Modell (IPV-Model)

Allgemeine Grundbegriffe

  • Das Modell behandelt nur Eingutauktionen,d.h ein Objekt wird von einem Versteigerer angeboten


  • n \geq 2 als Anzahl der Bieter mit I = \left\{1,...,n \right\} als Menge der Bieter


  • jeder Bieter i \in I misst den Artikel einen individuellen Wert v_i \in \left[0,\bar{v}\right] bei, mit \bar{v} > 0


  • v_0 \geq 0 sei dann die Wertschätzung des Versteigerers


  • es liegt eine asymmetrische Wertschätzung der Bieter vor, d.h. \forall i \neq j : v_i \neq v_j . Das bedeutet, dass v1,...vn sind Realisationen von stochasisch unabhängigen Zufallsvariablen V1,...,Vn mit den dazugehörigen Verteilungsfunktionen F1,...,Fn.Erst wenn die individuellen Werteinschätzungen aus derselben Verteilung F abstammen, spricht man von symmetrischer Informationsstruktur.


  • Die Rangordnung der individuellen Wertschätzungen sei gegeben durch: v_{(1)} \geq v_{(2)} \geq ... \geq v_{(n-1)} \geq v_{(n)} Mit V(k) als die Zufallsvariable, die im Spiel bei symmetrischer Infostruktur in der k-höchsten Wertschätzung v(k) realisiert wird. Man nennt diese der Größe nach geordneten ZV`s V_{(1)} \geq V_{(2)} \geq ... \geq V_{(n-1)} \geq V_{(n)} Rangstatistiken oder geordnete Statistiken


  • Der Gewinn πi von Bieter i \in I ist:
    \pi_i = \begin{cases} v_i - p, & Zuschlag \\ 0, & sonst \end{cases}

    Gewinn des Versteigers: π0 = pv0


  • Eine Beschreibung der Präferenzen des Bieters i auf seinen Gewinn πi wird durch die sog. Neumann/Morgenstern Nutzenfunktion u_i : R \rightarrow R mit ui(0) = 0 beschrieben.
    u_i(\pi_i) = \begin{cases} u_i(v_i - p), & Zuschlag \\ u_i(0), & sonst \end{cases}

    Sinn der Einführung des Nutzenkonzepts ist die Möglchkeit der unterschiedlichen Risikoeinstellungen der Bieter auf ein ex ante unsicheres Auktionsergebnis:
                 risikante Bieter: uii) > πi  \forall i \in I  
                 risikoneutrale Bieter: uii) = πi  \forall i \in I 
risikoaverse Bieter: uii) < πi \forall i \in I


  • Jeder Bieter verwendet für die Bestimmung seiner Gebote die Bietfunktion \beta: \left[0,\bar{v} \right] \rightarrow R_+. Wir gehen davon aus,dass innerhalb einer Auktion die Bieter alle dieselbe Bietfunktion verwenden, d.h. bi = β(vi). Dabei sei die Funktion (streng) monoton wachsend, i.Z \forall vi > vk:β(vi) > β(vk) und invertierbar, i.Z. vi = β − 1(bi). Die Bietfunktion beschreibt dabei also den Zusammenhang zwischen der Bietstrategie bi und der individuellen Werteinschätzung vi.


Vergleich der vier Auktionsformen

Die oben beschriebenen vier Auktionsformen lassen sich auf Grund gemeinsamer Eigenschaften in zwei Gruppen aufteilen. Die Auktionsformen DA und FA teilen sich auf der einen Seite sehr ähnliche Eigenschaften, während auf der anderen Seite die Formen EA und SA miteinander ähneln. So erhält man beispielsweise bei DA und FA keinerlei Informationen über das Bietverhalten der anderen Bieter. Während man bei der SA Informationen über das zweithöchste Gebot und bei EA Informationen durch Mitbietende erhält. Zum anderen ist der Ausgang bei DA und FA allein durch den Bieter selber bestimmt. D.h. im Falle eines Zuschlags ist der daraus resultierende Gewinn unabhängig von den Geboten der anderen Bieter. Anders als bei SA, wo der Gewinn je größer ausfällt, desto geringer das zweitgrößte Gebot durch den Mitbieter ist. Dasselbe gilt natürlich auch bei der klassischen EA Form, bei der noch ein zusätzlicher Einflussfaktor, durch einen gesetzten Mindestpreis des Versteigerers, den Verlauf der Auktion beeinflussen kann. Der wichtigste Unterschied zwischen den beiden Gruppen ist allerdings die Dominanz der Strategie bi = vi im Falle von EA und SA. D.h. dass im Falle von EA der Bieter bis zu einem Preis von vi aktiv mitbieten muss, da er sonst die Chance auf einen positiven Gewinn vergeben würde. Bei SA muss er auch genau vi bieten, um sich alle Möglichkeiten für einen positiven Gewinn zu bewahren, i.Z βEA(vi) = βSA(vi) = vi für alle i \in I. Der Bieter beeinflusst also lediglich, ob er den Zuschlag bekommt oder nicht, nicht aber die Höhe des Preises. Bei DA und FA existiert keine solche dominante Strategie, d.h bi < vi. Das wäre auch unlogisch, denn hier nimmt der Bieter auch direkten Einfluss auf den Preis, so dass es nicht von Vorteil wäre den gesamten geschätzten Wert vi zu bieten, da die Gewinnerwartung dadurch 0 wird.


Hier sind die unterschiedlichen Eigenschaften nochmals zusammengefasst:

EA und SA DA und FA
mehrmaliger Infoaustausch von Bietverhalten kein Infoaustausch von Bietverhalten
Gewinn abhängig von Gegengebot Gewinn unabhängig von Gegengebot
dominante Strategie (bi = vi) keine dominante Strategie (bi < vi)


Man sieht leicht, dass durch die Dominanz der Strategie bi = vi, die Gewinnberechnungen für EA und SA leichter ausfallen, als für DA und FA.


Erwarteter Gewinn von SA und EA

Um den erwarteten Gewinn von den beiden Auktionsformen SA und EA berechnen, setzten wir vorraus, dass alle Bieter ihre dominante Strategie bi = vi wählen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Bieter i dabei den Zuschlag erhält ist  Prob\left\{V_{(1)}= v_i \right\} , also die Wahrscheinlichkeit, dass Bieter i die höchste Wertschätzung besitzt.

Betrachtet man zuerst SA. Sei dabei ZSA(vi) die Zahlung einer SA-Auktion von Bieter i.

\Rightarrow E\left[Z_{SA}(v_i) \right] = E\left[V_{(2)}|V_{(1)}= v_i \right] * Prob\left\{V_{(1)}= v_i \right\} als erwartete Zahlung von Spieler i.
\Rightarrow E\left[\pi_{SA}(v_i) \right] = ( v_i - E\left[V_{(2)}|V_{(1)}= v_i \right]) * Prob\left\{V_{(1)}= v_i \right\}  als erwartete Gewinn von Spieler i.

Für die Englische Auktion EA müsste eigentlich eine Zahlung erfolgen, die etwas größer als das zweithöchste Gebot ist. Allerdings wird das höchste Gebot auch nicht bei v(1) (also der höchsten Einschätzung) liegen, da sonst der Gewinn πEA(vi) gleich 0 wäre. Die Zahlung wird also um ein weiteres Bietinkrement höher liegen, als das zweithöchste Gebot. Der Einfachheit wegen vernachlässigt man dieses Inkrement, indem man annimmt es sein vernachlässgend klein, um somit das Ergebnis für EA wie oben in SA zu erzielen.

D.h. E\left[Z_{EA}(v_i) \right] = E\left[Z_{SA}(v_i) \right] und damit E\left[\pi_{EA}(v_i) \right] = E\left[\pi_{SA}(v_i) \right]


Da die Bieter in den Auktionsformen DA und FA keine Dominante Strategie besitzen und bi < vi gilt, fällt eine derartige Analyse für den erwarteten Gewinn schwieriger aus. Für eine spieltheoretische Lösung im Fall DA und FA hilft ein vereinfachtes IPV-Grundmodell weiter, das im folgenden beschrieben wird.


IPV-Grundmodell zur Berechnung des erwarteten Gewinns bei DA und FA

Das Grundmodell beruht auf folgenden Annahmen:

(I) Bieter sind risikoneutral, d.h. u_{\pi_i} = \pi_i \forall i \in I

(II) Es liegt keine symmetrische Informationsstuktur vor. D.h. alle Wertschätzungen vi gehören der selben Verteilung F an, d.h. Fi = Fj = F \forall i,j \in I

(III) Die Wertschätzungen sind individuell und voneinander unabhängig.

(IV) Der Versteigerer verkauft das Gut zu jedem Preis p \geq 0 und es existiert kein Mindestpreis. Ergo bestimmt sich der Preis des Gutes nur duch die Gebote.


Auf Grund der strategischen Äquivalenz zwischen den Auktionsformen FA und DA, können alle getroffenen Aussagen auf die andere Form übernommen werden. Im folgenden wird nur noch auf die First Price Aukion FA eingegangen.

Da in FA die Bieter nun keine dominante Bietstrategie mehr besitzen, stellt sich die Frage, ob in diesem Modell mit symmetrischer Informationsstruktur ein symmetrisches Bayes-Gleichgewicht, d.h. ein Gleichgewicht mit symmetrischer Verhaltensstruktur , in dem alle Bieter dieselbe Bietfunktion βFA benutzen, existiert. Wenn also alle anderen Bieter auch βFA verwenden, wäre ein solches Gleichgewicht dadurch charakterisiert, dass es eine beste Antwort ist und somit Spieler i sein Gebot ebenfalls über diese Bietfunktion bi = βFA(vi) festlegt. Gesucht wird also ein βFA, dass den erwarteten Gewinn des Bieters i maximiert.

Sei πFA(vi,bi) der unsichere Gewinn von Bieter i mit Wertschätzung vi und Gebot bi zum Zeitpunkt der Gebotsabgabe.


\Rightarrow E \left[\pi_{FA}(v_i,b_i) \right] = (v_i - b_i)*Prob\left\{\mathrm{Bieter\,\,i\,\,erhaelt\,mit\,Gebot\,}\,b_i\,\,\mathrm{den\,Zuschlag}\right\}


Da sich alle Wertschätzungen der Bieter (stochastisch unabhängig) aus derselben Verteilung F realisieren, gilt: F(v1) = ... = F(vi) = F(vn). D.h. die Wertschätzungen aller Bieter sind gleichwarscheinlich. Außerdem ist wegen der Monotonie der Gleichgewichtsstrategie die Wahrscheinlichkeit, dass Bieter i den Zuschlag erhält, gleich der Wahrscheinlichkeit, dass er die höchste Wertschätzung besitzt. Damit ergibt sich:


 Prob\left\{\mathrm{Bieter\,\,i\,\,erhaelt\,mit\,Gebot\,}\,b_i\,\,\mathrm{den\,Zuschlag}\right\} = Prob\left\{b_i > b_j, \forall j \neq i \right\} =
 = Prob\left\{v_i > v_j, \forall j \neq i \right\} = Prob\left\{V_{(1)}=v_i \right\} = F^{n-1}(v_i)


Daraus ergibt sich für den erwarteten Gewinn:

E \left[\pi_{FA}(v_i,b_i) \right] = (v_i - b_i)*F^{n-1}(v_i) \quad (*) 


Nach dem Envelope-Theorem (bzw. Umhüllenden Theorem) gilt:

\frac{d}{dv_i}max\left\{E\left[\pi_{FA}(v_i,b_i) \right] \right\} = \frac{\delta}{\delta v_i}E\left[\pi_{FA}(v_i,b_i) \right] = F^{n-1}(v_i) \quad (**)


Durch Lösen der Differentialgleichung (**) erster Ordnung und Auflösen nach bi = βFA(vi) erhält man die gewünschte gleichgewichtete Bietstrategie.

Durch Integration von (**) erhält man:

E \left[\pi_{FA}(v_i,\beta_{FA}(v_i)) \right] = \int_0^{v_i}{F^{n-1}(x)dx} wobei E \left[\pi_{FA}(0,\beta_{FA}(0)) \right] = (0 - 0)*F^{n-1}(0) = 0


Eingesetzt in (*) ergibt dabei:

\int_0^{v_i}{F^{n-1}(x)dx} = (v_i - \beta_{FA}(v_i))*F^{n-1}(v_i)
\Rightarrow \beta_{FA}(v_i) = v_i - \frac{\int_0^{v_i}{F^{n-1}(x)dx}}{F^{n-1}(v_i)} als gleichgewichtete Bietstrategie für die Auktionsform FA 

Dabei ist schnell zu sehen, dass die Bieter im Gleichgewicht weniger als ihre eigene Wertschätzung vi bieten, was auch zuerwarten war, da die Gewinnerwartung sonst 0 wäre.


Indem man die errechnete gleichgewichtete Bietstrategie βFA(vi) in (*) einsetzt, erhält man den zu erwartenden Gewinn:


E \left[\pi_{FA}(v_i,b_i) \right] = (v_i - (v_i - \frac{\int_0^{v_i}{F^{n-1}(x)dx}}{F^{n-1}(v_i)})*F^{n-1}(v_i) = \frac{\int_0^{v_i}{F^{n-1}(x)dx}}{F^{n-1}(v_i)} * Prob\left\{V_{(1)}=v_i \right\}


Zur Erinnerung hier nochmal der erwartete Gewinn für die Auktionsform SA:


E\left[\pi_{SA}(v_i) \right] = ( v_i - E\left[V_{(2)}|V_{(1)}= v_i \right]) * Prob\left\{V_{(1)}= v_i \right\}


Dabei gilt, dass im symmetrischen Gleichgewicht der Auktionsformen FA bzw. DA und SA bzw. EA, der erwartete Gewinn und damit auch die erwartete Zahlung eines Bieters i mit Wertschätzung v_i \in \left[ 0, \bar{v} \right] jeweils gleich sind.


Um diese Behauptung zu beweisen, muss gezeigt werden, dass E\left[\pi_{SA}(v_i) \right] = E \left[\pi_{FA}(v_i,b_i) \right]

D.h. es muss gelten:

E\left[V_{(2)}|V_{(1)}= v_i \right] =  v_i - \frac{\int_0^{v_i}{F^{n-1}(x)dx}}{F^{n-1}(v_i)} \quad (***)


Sei F(2)(v | V(1) = vi) die bedingte Verteilung der zweiten Rangstatistik V(2). Diese gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an, dass einer der n − 1 Bieter den Wert zwischen 0 und v schätzt, unter der Bedingung, dass der i-te Bieter mit vi die höchste Wertschätzung hat.


\Rightarrow E\left[V_{(2)}|V_{(1)}= v_i \right] = \int_0^{v_i}{(1-F_{(2)}(v|V_{(1)}=v_i)) dx} = \int_0^{v_i}{Prob\left\{Bieter\,wertet\,zw.\,x\,u.\,v_i \right\} dx} 


Die Verteilung der zweiten Rangstatistik F(2)(v | V(1) = vi) entspricht der Verteilung der ersten Rangstatistik bei einer Stichprobe von n − 1 zufälligen Zügen aus der Verteilung F unter der Bedingung, dass die erste Rangstatistik der Stichprobe vom Umfang n − 1 und somit alle n − 1 Stichprobenwerte kleiner sind als vi. Damit können wir schreiben:

F_{(2)}(v|V_{(1)}=v_i) = \frac{F^{n-1}(v)}{F^{n-1}(v_i)}


\Rightarrow E\left[V_{(2)}|V_{(1)}= v_i \right] =  \int_0^{v_i}{(1- \frac{F^{n-1}(v)}{F^{n-1}(v_i)}) dx} =^{(***)} v_i - \frac{\int_0^{v_i}{F^{n-1}(x)dx}}{F^{n-1}(v_i)}


Damit ist gezeigt, dass in allen 4 Auktionsformen der Bieter ein Gebot in Höhe der bedingten erwarteten zweithöchsten Wertschätzung abgibt, davon ausgehend,dass er die höchste Wertschätzung besitzt.

So ist die erwartete Zahlung bei allen Auktionsformen:

E\left[Z(v_i) \right] = E\left[V_{(2)}|V_{(1)}= v_i \right] * Prob\left\{V_{(1)}= v_i \right\} 

und ebenfalls für alle Auktionsformen gilt:

E\left[\pi_(v_i) \right] = ( v_i - E\left[V_{(2)}|V_{(1)}= v_i \right]) * Prob\left\{V_{(1)}= v_i \right\}

Literatur

  • Berz,Gregor - Spieltheoretische Verhandlungs- und Auktionsstrategien
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