Auktionen

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Für eine mathematische Betrachtung der Auktionstheorie, sei auf folgenden Link verwiesen.

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Auktionstheorie ist ein Teilgebiet der Spieltheorie. Dabei wird die folgende Situation analysiert: Eine Menge von Objekten, der Auktionsgegenstand, soll verkauft werden. Der zu zahlende Preis und der Erwerber des Objektes werden über einen Mechanismus ermittelt. Dies ist die Auktion, bei dem die Interessenten Preisgebote für den Auktionsgegenstand abgeben. Der Zuschlag erfolgt an den Höchstbietenden, der Preis richtet sich nach den Auktionsregeln. Bei der Gebotsabgabe handelt es sich um eine Situation interpersoneller und interdependenter Entscheidungen über die Preisgebote. Die Spieltheorie ist also grundsätzlich anwendbar. Insbesondere die Bietstrategie in einer Auktion ist Gegenstand spieltheoretischer Analyse, weil die optimale Höhe des eigenen Gebots nicht allein von der eigenen Zahlungsbereitschaft abhängt, sondern auch von den Geboten (und der zugrundeliegenden Zahlungsbereitschaft) der Mitbieter. Auch die optimale Erstellung von Regeln, nach denen eine Auktion durchgeführt werden soll, erfolgt mit Methoden der Spieltheorie (sog. Auktionsdesign).

Regeln der Gebotsabgabe und Preisfestsetzung

Man unterscheidet abhängig von der Regel, nach der die Gebote abgegeben werden und der Auktionspreis festgestellt wird, zwischen englischen und holländischen n-ter Preis Auktionen. Bei englischen Auktionen kann der Preis ausgehend von einem Mindestpreis durch Abgabe eines höheren Gebotes gesteigert werden. Bei holländischen Auktionen dagegen fällt der Preis ausgehend von einem Maximalbetrag sukzessive bis ein Auktionsteilnehmer ein Gebot beim gerade herrschenden Preis abgibt. Der Bieter, der das Maximalgebot abgegeben hat, erhält den Zuschlag. Der Auktionspreis muss nicht mit seinem Gebot übereinstimmen, sondern kann auch dem nächsten (übernächsten, bzw. n-ten) entsprechen. Außerdem ist es möglich zwischen offener und verdeckter Gebotsabgabe zu unterscheiden je nachdem, ob die Bieter die Gebote untereinander sehen können.

Wert der Auktionsobjekte

Abhängig vom Charakter des Auktionsobjektes unterscheidet man solche, für die jeder Bieter eine ihm eigene, persönliche Wertschätzung pflegt (private value auction) und solche, denen jeder Bieter denselben Wert zumisst. Diese Unterscheidung ist wichtig, weil verschiedene strategische Probleme entstehen. Insbesondere tritt bei einer common value Auktion das Problem des sogenannten winner's curse (Fluch des Gewinners) auf: wenn die Bieter unsichere Erwartungen über den Wert des Auktionsgegenstandes haben, sollten sie einen Risikoabschlag vornehmen um nicht die Auktion nur zu gewinnen, weil ihre Erwartungen am meisten über den Erwartungen der anderen Bieter liegen und sie den Wert des Auktionsgegenstandes somit am stärksten überschätzt haben. Ein Lehrbuchbeispiel ist die Verauktionierung eines Behälters mit einem unbestimmten Geldbetrag. Der Gewinner der Auktion hat sicherlich den höchsten Betrag vermutet und es ist möglich, dass er den Betrag überschätzt hat. Ein praktisch relevantes Beispiel für eine common value auction ist die Verauktionierung von Frequenzbändern im Mobilfunk oder von Ölbohrrechten, mit der Unternehmen (in etwa) den gleichen Gewinn erzielen können (s.u.).

Optimale Bietstrategien in private value Auktionen

Im Folgenden werden optimale Strategien in private value Auktionen dargestellt. Die optimale Gebotsabgabe in einer englischen Auktion, in der Bieter beliebig lange nacheinander Gebote abgeben können, ist folgende: biete solange immer das kleinste mögliche Inkrement über das herrschende Gebot, bis der Preis deine eigene Zahlungsbereitschaft übersteigt. Ein interessantes Resultat erhält mit unter der Annahme, dass jeder Bieter in einer Englischen Auktion in verdeckter Form nur ein Gebot abgeben darf und der Gewinner der Auktion den Preis des zweithöchsten Gebots zahlen muss (sog. verdeckte Zweitpreis Auktion). William Vickrey hat bewiesen, dass unter diesen Umständen es optimal ist, die eigene Zahlungsbereitschaft zu bieten (deshalb ist diese Auktionsform auch als Vickrey Auktion bekannt). Strategisch ist also eine englische Auktion äquivalent mit einer Zweitpreisauktion mit verdeckter Gebotsabgabe. Ebenso kann gezeigt werden, dass eine holländische Auktion einer verdeckten Erstpreisauktion strategisch äquivalent ist. Eine ausführlichere mathematische Betrachtung dieser Aussagen, ist im Artikel Auktionstheorie genauer beschrieben. Die optimale Strategie wird komplizierter, wenn andere Verfahren angenommen werden. Bei Auktionen im Internet werden unterschiedliche Verfahren verwendet. Ihre strategische und empirische Analyse stellt ein aktuelles Forschungsgebiet dar. Beispielsweise können Auktionen zeitlich begrenzt sein (Ebay) oder ihre Laufzeit abhängig machen von der Gebotsabgabe. Es muss also noch entschieden werden, wann ein Gebot abgegeben wird. Ein späteres Gebot könnte vorgezogen werden, weil dann Kontrahenten keinen Preiskampf mehr führen können. Dieser Aspekt ist ausführlicher ausgearbeitet in diesem Artikel.

Auktionsdesign

Wenn die optimale Bietstrategie für ein gegebenes Auktionsdesign gefunden ist, stellt sich die Frage, nach welchen Regeln die Auktion durchgeführt werden soll. Die Antwort ist abhängig von der Zielsetzung der Auktion. Insbesondere zwei Ziele können verfolgt werden: effiziente Allokation und Erlösmaximierung. Beide Ziele sind nicht notwendig komplementär. Man kann zeigen, dass die englische Auktion und die verdeckte Zweitpreisauktion zu einem effizienten, nicht aber zu einem erlösmaximalen Ergebnis führen.


Vickrey Auctions (Second Price Sealed Bid)

Diese Form der Auktion sieht vor, dass alle Bieter ihre Gebote (ohne vorherige Absprache) in verschlossenen Umschlägen hinterlegen. Der Auktionator öffnet dann alle Umschläge und erteilt demjenigen Bieter den Zuschlag, der das höchste Gebot abgegeben hat. Dieser muss dann jedoch nur den Preis des zweithöchsten Gebots bezahlen. Daher wird diese von Vickrey (1961) zuerst beschriebene Form auch als "second price sealed bid auction" bezeichnet. Obgleich das Design auf den ersten Blick etwas eigenartig aussieht, lässt sich eine Vickrey-Auktion für den Fall von private independent values besonders einfach analysieren. Das Ergebnis lautet wie folgt:


Theorem: Die ehrliche Bekanntgabe der eigenen Bewertung des Auktionsgegenstandes ist eine schwach dominante Strategie eines Bieters in einer Vickrey- Auktion.

Beweis: Die Bewertung des Auktionsgegenstandes durch Bieter i sei mit vi bezeichnet. Wenn i mehr als vi bietet, und er das höchste Gebot abgibt, muss er u.U. einen Preis bezahlen, der über seiner Zahlungsbereitschaft liegt. Verliert er die Auktion dennoch, ist sein Nutzen einfach Null. Also wird er niemals einen höheren Betrag als vi bieten. Wenn er jedoch einen niedrigeren Betrag bietet, ist es denkbar, dass er die Auktion verliert und der Zuschlag zu einem Preis p < vi erfolgt, der auch für Bieter i attraktiv gewesen wäre. Daher wird i nie ein niedrigeres Gebot als vi abgeben. Dies ist eine (nur) schwach dominante Strategie, weil für p = vi Bieter i gerade indifferent ist, ob er die Auktion gewinnt oder verliert.


Das Design der Vickrey-Auktion findet sich auch in der Realität häufig wieder. Durch die Möglichkeit, in ebay einen Bietagenten zu beauftragen bis zu einer bestimmten Summe alle eingehenden Gebote um die Bietmarge zu überbieten, bezahlt letztlich der Höchstbietende die zweithöchste marginale Zahlungsbereitschaft (plus Bietmarge), nicht aber sein Höchstgebot. In einer Online-Auktion ist dies allein schon deswegen ein sinnvolles Design, weil potentielle Käufer dadurch die Möglichkeit haben, alle relevanten Angaben zu einem beliebigen Zeitpunkt einzugeben und dann das Ende der Auktion auch nicht vor dem Bildschirm abzuwarten.


First Price Sealed Bid Auctions

Bei dieser Auktionsform werden ebenfalls Gebote in verschlossenen Umschlägen (oder auf eine andere Art verdeckt) abgegeben. Allerdings bezahlt hier der Höchstbietende auch den von ihm genannten Preis. Zumindest auf den ersten Blick erscheint diese Auktionsform plausibler und aus der Sicht des Verkäufers deutlich attraktiver zu sein. Allerdings ist es selbst bei independent private value auctions deutlich schwieriger, eine gleichgewichtige Bietstrategie zu formulieren. Die ehrliche Bekanntgabe der Bewertung vi ist nämlich kein Optimum mehr, da ja dann der erwartete Nutzen aus einer gewonnenen Auktion gleich Null wäre. Trivialerweise gälte dann nämlich, dass p = vi \Leftrightarrow vi- p = 0. Jeder, der eine solche Auktion gewinnt, ist also gerade indifferent, ob er gewinnt oder verliert, wenn als Bietstrategie die Bekanntgabe von vi gewählt wird. Daher muss eine gleichgewichtige Bietstrategie in jedem Fall ein Gebot benennen, das unterhalb von vi liegt. Wie viel man darunter gehen sollte, ist aber nicht einfach und auch nicht generell zu beantworten, da sich der folgende trade-off auftut:

Je geringer das Gebot ist, desto höher wäre die Differenz vi - p im Fall des Zuschlags und damit der Nutzen aus einer gewonnenen Auktion. Auf der anderen Seite geht aber mit einem geringeren Gebot auch die Wahrscheinlichkeit zurück, dass man den Zuschlag erhält. Eine Abwägung dieser beiden Effekte bedingt mindestens eine Vorstellung über die Verteilung der Zahlungsbereitschaften aller Bieter – egal, ob diese jeweils unabhängig oder miteinander korreliert sind. Diese Vorstellung ist notwendig, um abschätzen zu können, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Gebot tatsächlich gewinnen wird. Eine genauere formale Analyse unterbleibt hier.

Auktionen in der Praxis

Spätestens seit der Verauktionierung von Mobilfunkfrequenzen der dritten Generation durch die Bundesregierung im Jahr 2000 hat die Auktionstheorie auch Einzug in die deutsche Wirtschaftspresse erhalten. Das damals gewählte Auktionsdesign wurde von führenden Auktionstheoretikern im Vorfeld heftig kritisiert. Trotzdem wurde ein Auktionserlös von 99,36 Mrd. DM erzielt. Die verwendeten Auktionsregeln waren relativ komplex. So wurde die Auktion aufgeteilt in zwei Teilauktionen. In der ersten Auktion wurden die Lizenzen ersteigert: 12 Blöcke mit einem Spektrum von je 2*5 MHZ standen zur Versteigerung. Die Bieter konnten höchstens drei solcher Blöcke ersteigern, sie mussten mindestens zwei ersteigern um eine Lizenz zu bekommen. Die Zahl der lizenzierten Firmen konnte also 6 nicht übersteigen. Für jeden Block musste in Schritten von 100 Mio. DM geboten werden. In der zweiten Runde konnten die Unternehmen, die eine Lizenz ersteigert hatten, zusätzliche Kapazitäten von jeweils 1*5 MHZ ersteigern.

Kollusion bei Auktionen

Auktionen werden genutzt um die Bieter einer scharfen Konkurrenz um das zu verauktionierende Gut auszusetzen. Ein Problem entsteht dann, wenn die Bieter dieser Konkurrenz ausweichen, indem sie eine bindende Absprache eingehen. Solche Kollusionen sind schon beobachtet worden. Ein Beispiel ist die gleichzeitige Verauktionierung von mehreren Funklizenzen, bei der ein Bieter mit seinem Gebot signalisiert hat, welche Lizenzen er unbedingt kaufen will und dass er bereit ist seinen Konkurrenten die übrigen zu überlassen.

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