Asymmetrische Spiele in der evolutorischen Spieltheorie

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Bislang haben wir in der evolutionären Spieltheorie ausschließlich symmetrische Spiele betrachtet und untersucht. Dieser Artikel soll eine Einführung und einen Überblick über asymmetrische Spiele in der evolutionären Spieltheorie geben.


Inhaltsverzeichnis

Definition


Sei A die Auszahlungsmatrix von Spieler 1 (Zeilenspieler) und B die Auszahlungsmatrix von Spieler 2 (Spaltenspieler). Ein asymmetrisches Spiel ist gegeben, wenn B \neq A^T , oder anders geschrieben  u_1(p,q) \ne u_2(p,q) für alle Strategien (p,q) gilt. Dafür gibt es zwei Gründe:

  • Die Entscheidungssituation als solche ist asymmetrisch, da die Anzahl der reinen Strategien von Zeilen- und Spaltenspieler verschieden sind
  • Bei gleicher Anzahl von reinen Strategien besteht die Population aus zwei verschiedenen Gruppen von Spielern (z.B. Männlein/Weiblein, Jäger/Gejagter, Boss/Arbeiter, Käufer/Verkäufer usw.), die nur mit Vertretern der jeweils anderen Gruppe aufeinandertreffen, d.h. Zeilen- und Spaltenspieler gehören unterschiedlichen Gruppen an.


Begriffe wie Replikatordynamik, dynamisches Gleichgewicht, Nash-Gleichgewicht, (asymptotisch) stabiles Gleichgewicht sowie evolutionär stabile Strategie lassen sich durch minimale Veränderungen vom symmetrischen auf den asymmetrischen Fall übertragen. Im Folgenden betrachten wir eine asymmetrische Spielsituation, d.h. B \neq A^T . Wobei A die Auszahlungsmatrix für den Zeilenspieler (Spieler 1) und B die für den Spaltenspieler (Spieler 2) sei:


Nash-Gleichgewicht

Die Definition des Nash-Gleichgewichts im asymmetrischen Spiel entspricht der im symmetrischen Spiel. Zu beachten ist jedoch, dass nicht mehr u1(p,q)=u2(p,q) gilt, wie es im symmetrischen Spiel der Fall ist. Nash-Gleichgewichte in reinen oder gemischten Strategien bestimmt man also wie gehabt.


Replikatordynamik/Replikatorgleichung


Die zugehörige Replikatordynamik besteht nun aus folgenden Gleichungen. Die erste beschreibt die Dynamik von Spieler 1 (dem Zeilenspieler) und die zweite die von Spieler 2 (dem Spaltenspieler).
Sei xi der Anteil der Zeilenspieler, welche die Strategie siZ wählen und yi der Anteil der Spaltenspieler, welche die Strategie siS wählen, so lautet die Replikatorgleichung

  • xi' = xi (eiTAy - xTAy)
  • yi' = yi (eiTBTx - yTBTx)

Dynamische Gleichgewichte bestimmt man wie gewohnt als Fixpunkte der Replikatorgleichungen. Die Definitionen der Begriffe asymptotisch stabiles Gleichgewicht und stabiles Gleichgewicht lassen sich 1:1 übernehmen. (siehe Stabilität)


Evolutionär stabile Strategie


Auch die Verallgemeinerung des Konzepts der Evolutionär stabile Strategie (ESS) auf asymmetrische Spiele erfordert nur eine geringe Veränderungen der gewohnten Definition. Ein Paar (p,q) ist dann ESS, wenn gilt

  • pTAq > xTAq für alle  x \neq p
  • qTBTp > yTBTp für alle  y \neq q

Der Grund, weshalb in den obigen Bedingungen strikte Ungleichheit gelten muss (im Gegensatz zur schwachen Ungleichheit bei der Formulierung der ESS für monomorphe Populationen in symmetrischen Spielen) liegt darin, dass wir keine Stabilitätsbedingung (das ist Bedingung b in der Definition von ESS für symmetrischen Spiele) für den asymmetrischen Fall formulieren können. Denn die eindringende Population ist vom selben Typ (Zeilen- oder Spaltenspieler), wie die ursprünglich bestehende Population und kann deshalb nicht direkt gegen diese antreten, sondern lediglich gegen die (unveränderte; nur die eigene Population hat sich verändert) Gegenspielerpopulation. Also entfällt die Stabilitätsbedingung, da nie ein Mutant auf sich selbst trifft.
Aus dieser Definition von ESS für asymmetrische evolutionäre Spiele lässt sich unmittelbar folgender Satz ableiten:


Satz (Selten, 1980)

Eine evolutionär stabile Strategie in einem asymmetrischen evolutionären Spiel muss ein striktes Nash-Gleichgewicht sein


Folgerung

Gemischte Strategien in asymmetrischen evolutionären Spielen sind nicht evolutionär stabil.
Anders ausgedrückt: Nur reine Strategien in asymmetrischen evolutionären Spielen können ESS sein.


Beweis
Wir verwenden dazu folgende Aussage:
Eine gemischte Strategie qi ist genau dann beste Antwort auf q-i, falls alle reinen Strategien si, welche in qi mit positiver Wahrscheinlichkeit gewählt werden, eine beste Antwort auf q-i sind.
Damit gilt also, dass in einem Gleichgewicht in gemischten Strategien alle zugehörigen reinen Strategien dieselbe Auszahlung aufweisen, d.h. dass eine gemischte Strategie in asym. evolut. Spielen kein striktes Nash-Gleichgewicht ist.
Denn angenommen v=(p,q) sei ein striktes Gleichgewicht und p eine echt gemischte Strategie. Die reine Strategie s1 tauche mit positiver Wahrscheinlichkeit in p auf. Dann wäre u1(s1,q) = v = v' = u1(p,q), also würde ein Mutant genauso gut abschneiden, da eben auch s1, wie p, beste Antwort auf q ist. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass (p,q) ein striktes Nash-Gleichgewicht ist. Damit und mit dem Satz folgt die Behauptung.



Beispiel

Betrachtet wird ein Markt auf dem Käufer (Spieler 1, Zeilenspieler) und Verkäufer (Spieler 2, Spaltenspieler) paarweise aufeinandertreffen. Jeder Verkäufer verfüge über die beiden reinen Strategien "ehrliche" Leistung erbringen (E) oder schwindeln (S). Jeder Käufer habe die beiden reinen Strategien, die Ware zu prüfen (T) oder die Ware nicht zu prüfen (R). Käufer und Verkäufer können auch gemischte Strategien spielen. Der Strategieraum ist also die Menge aller Paare (p,q) mit  0 \leq p \leq 1 , 0 \leq q \leq 1 , wobei p der Anteil der prüfenden Käufer und q der Anteil der ehrlichen Verkäufer sei. Der Nutzen für den Fall, dass Käufer und Verkäufer aufeinandertreffen sei durch folgende Matrix wiedergegeben:

E S
T (3,2) (2,1)
R (4,3) (1,4)

Dieses ist ein asymmetrisches Spiel, denn es gilt mit 
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}
, der Ausszahlungsmatrix des Käufers und mit 
B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}
, der Auszahlungsmatrix des Verkäufers, dass B \neq A^T .


In reinen Strategien gibt es kein Nash-Gleichgewicht, denn es gilt:

  • u1(T,E) = 3 < 4 = u1(R,E)
  • u1(R,S) = 1 < 2 = u1(T,S)
  • u2(T,S) = 1 < 2 = u2(T,E)
  • u2(R,E) = 3 < 4 = u2(R,S)

Für gemischte Strategien berechnet man das Nash-Gleichgewicht  s^* = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) und dieses ist das einzige in dem Spiel.
Mit dem Satz von Selten folgt, dass dieses Nash-Gleichgewicht jedoch keine ESS ist. Also hat das Spiel keine ESS.


Die zugehörige Replikatordynamik lautet:

  • p'= p (e1TAq - pTAq) = p (1-p) (1-2q)
  • q'= q (e1TBTp - qTBTp) = q (1-q) (2p-1)

Die erste Gleichung beschreibt die Wachstumsrate der prüfenden Käufer.
Die zweite Gleichung beschreibt die Wachstumsrate der ehrlichen Verkäufer.


Die Fixpunkte (es muss gelten p' = 0 und q' = 0) des DGL-Systems sind:
(0,0), (1,0), (0,1), (1,1) und (1/2, 1/2).
Um die (asymptotisch) stabilen Gleichgewichte zu bestimmen untersuche man die Replikatorgleichungen genauer:

  • p'= p (1-p) (1-2q)= p (1-p) f(q)
  • q'= q (1-q) (2p-1)= q (1-q) f(p)

insbesondere die beiden Teilfunktionen f(q)=1-2q und f(p)=2p-1. Es gilt:

  • p>1/2 , q>1/2 : f(q)<0, also p'<0 und f(p)>0, also q'>0
 Der Anteil der prüfenden Käufer nimmt ab und der der ehrlichen Verkäufer zu
  • p>1/2 , q<1/2 : f(q)>0, also p'>0 und f(p)>0, also q'>0
 Der Anteil der prüfenden Käufer und der der ehrlichen Verkäufer nimmt je zu
  • p<1/2 , q<1/2 : f(q)>0, also p'>0 und f(p)<0, also q'<0
 Der Anteil der prüfenden Käufer nimmt zu und der der ehrlichen Verkäufer ab
  • p<1/2 , q>1/2 : f(q)<0, also p'<0 und f(p)<0, also q'<0
 Der Anteil der prüfenden Käufer und der der ehrlichen Verkäufer nimmt je ab

Also ist das dynamische Gleichgewicht s* = (1/2, 1/2), welches einizges Nash-Gleichgewicht ist, nicht asymptotisch stabil, wie es auch nicht die restlichen dynamischen Gleichgewichte sind, die nicht einmal stabil sind. Über die Stabilität von s* lässt sich nichts aussagen.

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