Allmende-Problem

Aus Wikiludia
Wechseln zu: Navigation, Suche

Es handelt sich um ein Spiel in extensiver Form. Die Suche nach einem Nash-Gleichgewicht und die Frage nach Optimalität steht im Vordergrund.


Als Allmende bezeichnet man ein im Besitz einer Dorfgemeinschaft befindliches Grundeigentum (z.B. Wald, Gewässer, Gemeindewiese, etc.). Das folgende Modell behandelt die Übernutzung von derartigen frei zugänglichen Ressourcen, nämlich an dieser Stelle einer Viehweide eines Dorfes. Es ist eines der Standardbeispiele der Soziologie und der Mikroökonomie und basiert auf einem Artikel von G.Hardin (1968).

Inhaltsverzeichnis

Spielablauf

In einem Dorf gibt es n Bauern. Jeder Bauer hütet sein Vieh auf eigenem Grund. Daneben steht die Dorfweide für alle kostenlos zur Verfügung. Jeden Sommer führen die Bauern ihre Kühe auf die Dorfweide:

  • Die Zahl der Kühe des i-ten Bauern auf der Weide ist ki;
  • der Gesamtbestand an Kühen auf der Weide ist k1 + k2 + ... + kn;
  • die Kosten der Viehhaltung pro Kuh auf der Weide ist c (konstant und für alle Bauern gleich);
  • der Wert pro Kuh, wenn K Kühe auf der Weide sind, beträgt v(K);
  • die maximale Anzahl von Kühen, die auf der Weide leben können, beträgt Kmax.
    Dabei gilt: v(K) > 0 für K < Kmax und v(K) = 0 für K > = Kmax;
  • für K < Kmax gilt v'(K) < 0 und v''(K) < 0.

Interpretation

Es handelt sich um ein Spiel in extensiver Form, d.h. jeder Bauer entscheidet (simultan), wie viele Kühe er auf die Weide bringt. Dabei erlauben sie sich, auch in Bruchteilen von Kühen zu denken.
Die Problematik ist offensichtlich: Für jeden einzelnen Dorfbewohner scheint es sinnvoll, verstärkt die kostenlose Dorfweide zu nutzen und die eigenen Ressourcen zu schonen bzw. die Herdengröße über die eigenen Möglichkeiten hinaus zu vergrößern. Es soll gezeigt werden, dass diese individuelle Kalkulation quasi automatisch früher oder später zu einer Überweidung, d.h. (gemessen an der Pareto-Optimalität) einer übermäßigen Nutzung, der Dorfwiese führt.


Nash-Gleichgewicht

  • Strategie des Bauern i: Zahl der Kühe, die er auf die Weide bringt, ki.
  • Auszahlung des Bauern i bei der Strategiekombination k = (ki,ki) beträgt si(ki) = ki * v(ki + ki) − cki.

Ein Nash Gleichgewicht (k1,...,kn) liegt dann vor, wenn ki die Auszahlung des Bauern i maximiert, gegeben die Strategien ki der anderen Bauern.

Bedingung erster Ordnung:
si'(ki) = 0 < = > v(ki + ki) + ki * v'(ki + ki) − c = 0

Da das Spiel symmetrisch ist, gilt ki = kj für alle Bauern i, j.
Daraus folgt k_i^* + k_{-i}^* = nk_i^* = K^* ,
und die Bedingung erster Ordnung lässt sich schreiben als
 v(K^*) + k_i^* v(K^*)-c = 0.


Aufsummieren über alle n Bauern ergibt
nv(K * ) + K * v'(K * ) − nc = 0.

Division durch n ergibt die Bedingung für K * im Nash Gleichgewicht:
 v(K^*) + \frac{1}{n} K^* v(K^*)-c = 0. (#)

Pareto-Optimum

Das Pareto-Optimum ("soziale Optimum") bedeutet: Maximiert wird der Gesamtprofit aller Bauern:

 \mathrm{max} \,Kv(K)- cK \,.

Wie zuvor erhalten wir als Bedingung erster Ordnung:
v(K * * ) + K * * v'(K * * ) − c = 0. (##)

Es gilt offenbar K * > K * * : Damit die linke Seite von (#) genauso groß ist wie die linke Seite von (##),
muss gelten: v(K * ) > v(K * * ) und v'(K * ) < v'(K * * ). Voraussetzung ist K * > K * * .

Ergebnis/Schlußfolgerung:
Im Nash-Gleichgewicht werden also zu viele Kühe auf die Weide geführt, die Weide wird zu stark genutzt. Der Grund ist, dass kein Bauer den externen Effekt berücksichtigt, den seine Kühe auf den Profit der anderen Bauern ausüben.

Fazit

Dieses Spiel führt schön vor Augen, dass ein Nash-Gleichgewicht nicht unbedingt in jeder Situation erstrebenswert ist bzw. immer auch kritisch hinterfragt werden (wie wir es beispielsweise mit der Suche nach teilspielperfekten Nash-Gleichgewichten gemacht haben). Durch die Überweidung (und somit die Abweichung vom Pareto-Optimum) entsteht das Problem einer externen, öffentlichen Kontrolle der Verfolgung interner, individueller Interessen.


Ausblick/Erweiterung

Zu anderen praktischen Beispielen, bei denen ein ähnlicher Effekt auftritt, gehören u.a. die Überfischung von Meeren oder Netzdienste (als kollektive Güter)


(Quellen: Walter Schlee: Einführung in die Spieltheorie; Tone Arnold: Spieltheorie Skript Uni Hohenheim sowie diverse Internet-Artikel)

Meine Werkzeuge