Äquivalenz in Spielen

Mit Hilfe des Äquivalenzbegriffes lassen sich Spiele auf typische Formen zurückführen, so dass ihre Eigenschaften untersucht werden können. Die Spiele werden im folgenden mit der Präferenzordnung betrachtet. Bei Spielen mit Präferenzordnung unterscheidet man zunächst zwischen zwei Stufen der Äquivalenz: zwischen strategischer Äquivalenz und beste-Antwort Äquivalenz. Bei Spielen mit definierten Kostenfunktionen zwischen drei Stufen der Äquivalenz; strategischer Äquivalenz, erweitert strategisch linearer Äquivalenz und strategisch linearer Äquivalenz.

strategische Äquivalenz

Definition: Gegeben seien zwei Spiele Γ1 = (A, (S1,..., Sm), ( ≥1,1,..., ≥1,m )) und Γ2 = (A, (S1,..., Sm), ( ≥2,1,..., ≥2,m )), die sich nur durch die Präferenzordnung unterscheiden. Sie heißen (allgemein) strategisch äquivalent, wenn sie die gleichen Nash-Gleichgewichte besitzen.

=== Beispiel ===
Für beide Spiele sind Kostenfunktionen definiert. Des weiteren ergeben sich folgende Auszahlungsmatrizen für beide Spiele:

Auszahlungsmatrix des 1. Spiels: Spieler 1 \ 2 Strategie 1 Strategie 2 Strategie 1 2, 1 3, 2 Strategie 2 1, 2 2, 3

Auszahlungsmatrix des 2. Spiels: Spieler 1 \ 2 Strategie 1 Strategie 2 Strategie 1 5, 1 2, 2 Strategie 2 2, 2 1, 5

Den Auszahlungsmatrizen ist zu entnehmen, dass die Strategiekombination (s¹₁, s²₂) die einzigen Nash-Gleichgewichte in beiden Spielen sind. Beide Spiele sind somit strategisch äquivalent.

erweitert strategische lineare Äquivalenz

Definition: Gegeben seien zwei Spiele Γ1 = (A, S, u), und Γ2 = (A, S, ű). Man nennt beide Spiele erweitert strategisch linear äquivalent, falls zwischen den Kostenfunktionen folgende Beziehung besteht: ű(si, s-i) = ki ui(si, s-i) + ci(s-i)       i = 1,..., m       ∀ s ∈ S wobei ki > 0 und ci: Si → R, i = 1,..., m.

Bemerkung: Ist die Funktion c_i(s_i) konstant bzgl. s_i so nennt man beide Spiele strategisch linear äquivalent.

Folgerung: Erweitert strategisch lineare äquivalente Spiele sind strategisch äquivalent.

Beweis: Sei s* Nash-Gleichgewicht eines Spieles Γ₂ aus voriger Definition dann folgt:

ű_i(s*_i, s*_-i) ^_≥ ű_i(s_i, s*_-i) ^_⇔ k_i u_i(s*_i, s*_-i) + c_i(s*_-i) ^_≥ k_i u_i(s_i, s*_-i) + c_i(s*_-i) ^_⇔ u_i(s*_i, s*_-i) ^_≥ u_i(s_i, s*_-i)

_^⇒ s* ist auch Nash-Gleichgewicht des Spiels Γ₁. Beide Spiele Γ₁ und Γ₂ sind somit strategisch äquivalent.

=== Beispiel ===
Im folgenden ist ein Zweipersonen-Spiel mit jeweils zwei Strategien und einer Auszahlungsmatrix (1. Spiel) gegeben:

Auszahlungsmatrix des 1. Spiels: Spieler 1 \ 2 Strategie 1 Strategie 2 Strategie 1 2, 1, 2, 3 Strategie 2 4, 2 1, 0

Auszahlungsmatrix des 2. Spiels: Spieler 1 \ 2 Strategie 1 Strategie 2 Strategie 1 5, 4, 0, 6 Strategie 2 7, 0 -1, -2

Die einzigen Nash-Gleichgewichte sind in diesem Spiel die Strategiekombinationen (s¹₁, s²₂) und (s¹₂, s²₁). Für die Transformation wird k₁ = k₂ = 1, c₁(s²₁) = c₂(s¹₁) = 3 und c₁(s²₂) = c₂(s¹₂) = -2 festgesetzt. Durch die Transformation ergibt sich die oben angeführte Auszahlungsmatrix des 2. Spiels. Es ist erkennbar, dass die Nashgleichgewichte des transformierten Spiels, die Strategiekombinationen (s¹₁, s²₂) und (s¹₂, s²₁), mit denen des ursprünglichen Spiels übereinstimmen.

beste-Antwort Äquivalenz

Definition: Gegeben seien zwei Spiele Γ1 = (A, ( S1,..., Sm ), ( ≥1,1,..., ≥1,m )) und Γ2 = (A, ( S1,..., Sm ), ( ≥2,1,..., ≥2,m )), die sich nur durch die Präferenzordnung unterscheiden. Beide Spiele heißen beste-Antwort äquivalent, falls die beste Antwortfunktion bi: Si → Si,   i = 1,..., m der beiden Spiele übereinstimmen.

Bemerkung: Die beste-Antwort Äquivalenz stimmt mit der erweiterten strategischen linearen Äquivalenz überein, falls bei den beteiligten Spielen Kostenfunktionen definiert sind.

Beweis: Die Menge b_i(s_-i) := {s_{i ^∈} Sⁱ | u_i(s_i, s_-i) = max_s´i u_i(s´_i, s_-i)} ist für alle zu dem Spiel Γ mit der Auszahlung u erweitert strategisch linear äquivalenten Spielen gleich.

Bemerkung: Die beste-Antwort Äquivalenz ist eine echte Verschärfung der strategischen Äquivalenz. Zur Verdeutlichung werden die folgenden beiden Zweipersonen-Spiele und deren Auszahlungsmatrizen betrachtet:

Auszahlungsmatrix des 1. Spiels: Spieler 1 \ 2 Strategie 1 Strategie 2 Strategie 1 4, 3, -2, 2 Strategie 2 3, 0 3, -3

Auszahlungsmatrix des 2. Spiels: Spieler 1 \ 2 Strategie 1 Strategie 2 Strategie 1 2, -1, 2, -3 Strategie 2 1, 1 -2, 2

In beiden Spielen ist die Strategiekombination (s¹₁, s²₁) einziges Nash-Gleichgewicht. Allerdings existiert kein Zusammenhang der Kostenfunktionen wie in der Definition zur erweitert strategisch linearen Äquivalenz notwendig ist bzw. die beste-Antwortfunktionen stimmen nicht überein. Es gilt (1. Spiel)b₁(s²₂) = s¹_{2 ^≠} s¹₂ = b₁(s²₂) (2. Spiel)